题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若存在实数,使
,求实数
的范围.
【答案】(1)答案不唯一,具体见解析(2)
【解析】
(1)求导,分类讨论即可求得单调性情况;(2)分a=0,a<0及a>0三种情况讨论即可求得实数a的取值范围.
(1)函数的导函数为
,
当时,函数
在
上单调递增;
当时,函数
在
上单调递增,在
上单调递减;
当时,函数
在
上单调递减,在
上单调递增.
(2)当时,
,有
,不符合题意;
当时,由(1)知
,
由在
单调递增,且
知,
①当时,由(1)知
,
此时恒成立,不符合题意;
②当时,
,
(预备:很容易证明,而
,
所以,,即
,
所以,.)
由,
有,即
.
所以存在,使得
满足题意.
当时,由(1)知
,
由在
上单调递减,且
知,
当时,
恒成立,不满足题意;
当时,
,
(预备:很容易证明,而
,
所以,,即
,
所以,.)
由,
有,即
,
所以存在,使得
满足题意.
综上所述,的取值范围为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】眼保健操是一种眼睛的保健体操,主要是通过按摩眼部穴位,调整眼及头部的血液循环,调节肌肉,改善眼的疲劳,达到预防近视等眼部疾病的目的.某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果,在应届高三的全体800名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查,并得到如图的频率分布直方图.
(1)若直方图中后三组的频数成等差数列,试估计全年级视力在5.0以上的人数;
(2)为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系,对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了调查,得到下表中数据,根据表中的数据,能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系?
(3)在(2)中调查的100名学生中,按照分层抽样在不近视的学生中抽取8人,进一步调查他们良好的护眼习惯,在这8人中任取2人,记坚持做眼保健操的学生人数为X,求X的分布列和数学期望.
附:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | |
k | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |