题目内容
【题目】如图,四棱锥的底面是菱形,
底面
,
分别是
的中点,
,
,
.
(I)证明:;
(II)求直线与平面
所成角的正弦值;
(III)在边上是否存在点
,使
与
所成角的余弦值为
,若存在,确定点
位置;若不存在,说明理由.
【答案】(Ⅰ)见解析; (Ⅱ); (Ⅲ)见解析.
【解析】
(Ⅰ)由题意结合几何关系可证得平面
,据此证明题中的结论即可;
(Ⅱ)建立空间直角坐标系,求得直线的方向向量与平面
的一个法向量,然后求解线面角的正弦值即可;
(Ⅲ)假设满足题意的点存在,设
,由直线
与
的方向向量得到关于
的方程,解方程即可确定点F的位置.
(Ⅰ)由菱形的性质可得:,结合三角形中位线的性质可知:
,故
,
底面
,
底面
,故
,
且,故
平面
,
平面
,
(Ⅱ)由题意结合菱形的性质易知,
,
,
以点O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则:,
设平面的一个法向量为
,
则:,
据此可得平面的一个法向量为
,
而,
设直线与平面
所成角为
,
则.
(Ⅲ)由题意可得:,假设满足题意的点
存在,
设,
,
据此可得:,即:
,
从而点F的坐标为,
据此可得:,
,
结合题意有:,解得:
.
故点F为中点时满足题意.

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