Question

【题目】设个不全相等的正数，，…，依次围成一个圆圈.

（Ⅰ）设，且，，，…，是公差为的等差数列，而，，，…，是公比为的等比数列，数列，，…，的前项和满足，，求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，，若数列，，…，每项是其左右相邻两数平方的等比中项，求；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，，求符合条件的的个数.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）见解析.（Ⅲ）见解析.

【解析】试题分析：利用，，，…，是公比为的等比数列，求出，又，解得，可得数列的通项公式；

确定出，依次类推

猜想，，，一共有个，再利用反证法进行证明即可

解析：（Ⅰ）因，，，…，是公比为的等比数列，

从而，，由得，

故解得或（舍去）.因此，又，解得.

从而当时， ，

当时，由，，，…，是公比为的等比数列得

.

因此.

（Ⅱ）由题意，，，∴，

得，，，，，.

（Ⅲ）猜想：，，一共有336个.

证明：，，得

.

又 ，④

故有，. ⑤

若猜想不成立，设，其中，

若取即，则由此得，

而由③得，故，得，由②得，从而，

而，故，由此推得与题设矛盾，

同理若均可得与题设矛盾，因此为6的倍数.