题目内容
直线AB过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F,并与其相交于A、B两点,Q是线段AB的中点,M是抛物线的准线与y轴的交点,O是坐标原点.
(Ⅰ)求的取值范围;
(Ⅱ)过A、B两点分别作此抛物线的切线,两切线相交于N点.
求证:;
(Ⅲ)若p是不为1的正整数,当,△ABN的面积的取值范围为[5,20]时,求该抛物线的方程.
(Ⅰ)·的取值范围是.
(Ⅱ)证明见解析
(Ⅲ)抛物线的方程:x2=4y.
解析:
(Ⅰ)由条件得M(0,-),F(0,).设直线AB的方程为
y=kx+,A(,),B(,)
则,,Q(). …………………………2分
由得.
∴由韦达定理得+=2pk,·=- …………………………3分
从而有= +=k(+)+p=2pk÷p.
∴·的取值范围是. …………………………4分
(Ⅱ)抛物线方程可化为,求导得.
∴ =y .
∴切线NA的方程为:y-即.
切线NB的方程为: …………………………6分
由解得∴N()
从而可知N点Q点的横坐标相同但纵坐标不同.
∴NQ∥OF.即 …………………………7分
又由(Ⅰ)知+=2pk,·=-p
∴N(pk,-). …………………………8分
而M(0,-) ∴
又. ∴. …………………………9分
(Ⅲ)由.又根据(Ⅰ)知
∴4p=pk,而p>0,∴k=4,k=±2. …………………………10分
由于=(-pk,p),
∴
从而. …………………………11分
又||=,||=
∴.
而的取值范围是[5,20].
∴5≤5p2≤20,1≤p2≤4. …………………………13分
而p>0,∴1≤p≤2.
又p是不为1的正整数.
∴p=2.
故抛物线的方程:x2=4y. …………………………14分