题目内容

直线AB过抛物线x2=2pyp>0)的焦点F,并与其相交于AB两点,Q是线段AB的中点,M是抛物线的准线与y轴的交点,O是坐标原点.

   (Ⅰ)求的取值范围;

   (Ⅱ)过AB两点分别作此抛物线的切线,两切线相交于N点.

        求证:

   (Ⅲ)若p是不为1的正整数,当,△ABN的面积的取值范围为[5,20]时,求该抛物线的方程.

(Ⅰ)·的取值范围是.   

   (Ⅱ)证明见解析

   (Ⅲ)抛物线的方程:x2=4y.    


解析:

(Ⅰ)由条件得M(0,-),F(0,).设直线AB的方程为

       y=kx+A(),B()

       则Q().   …………………………2分

       由.

       ∴由韦达定理得+=2pk,·=-    …………………………3分

       从而有= +=k(+)+p=2pk÷p.

       ∴·的取值范围是.      …………………………4分

   (Ⅱ)抛物线方程可化为,求导得.

       ∴       =y     .

       ∴切线NA的方程为:y-.

       切线NB的方程为:  …………………………6分

       由解得N()

       从而可知NQ点的横坐标相同但纵坐标不同.

       ∴NQOF.即    …………………………7分

       又由(Ⅰ)知+=2pk,·=-p

       ∴N(pk,-).      …………………………8分

       而M(0,-)  ∴

       又. ∴.       …………………………9分

   (Ⅲ)由.又根据(Ⅰ)知

       ∴4p=pk,而p>0,∴k=4,k=±2.   …………………………10分

       由于=(-pkp),  

       ∴

       从而.         …………………………11分

       又||=,||=

       ∴.

       而的取值范围是[5,20].

       ∴5≤5p2≤20,1≤p2≤4.   …………………………13分

       而p>0,∴1≤p≤2.

       又p是不为1的正整数.

       ∴p=2.

       故抛物线的方程:x2=4y.      …………………………14分

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