题目内容

,已知y=f(x)是定义在R上的单调递减函数,对任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)f(y)且f(0)=1,数列{an}满足a1=4,f(log3-
an+1
4
)f(-1-log3
an
4
)=1
(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Sn是数列{an}的前n项和,试比较Sn与6n2-2的大小.
分析:(1)根据题意把1换成f(0)化简可得log3
an
4
=n-1
,即可得到an的通项公式;
(2)利用等比数列的求和公式求出sn,然后令n=1,2,3,4,5…求出sn,并与6n2-2的大小进行猜想Sn>6n2-2,最后运用数学归纳法对猜想进行证明.
解答:解:(1)由题设知f(log3-
an+1
4
)f(-1-log3
an
4
)=1
(n∈N*),可化为f(log3
an+1
4
-1-log3
an
4
)=f(0)

所以有log3+
an+1
4
-1-log3
an
4
=0

log3
an+1
4
-log3
an
4
=1

因此数列{log3
a1
4
}是以log3
a1
4
=0
为首项,1为公差的等差数列.
所以log3
an
4
=n-1
,即an=4×3n-1(n∈N*).
(2)Sn=a1+a2+a3++an=4(1+31+32++3n-1)=2(3n-1),
当n=1时,有Sn=6n2-2=4;
当n=2时,有Sn=16<6n2-2=22;
当n=3时,有Sn=6n2-2=52;
当n=4时,有Sn=160>6n2-2=94;
当n=5时,有Sn=484>6n2-2=148;

由此猜想当n≥4时,有Sn>6n2-2,
即3n-1>n2
下面由数学归纳法证明:
①当n=4时,显然成立;
②假设n=k(k≥4,k∈N*)时,有3k-1>k2
当n=k+1时,3k=3×3k-1>3k2
因为k≥4,所以k(k-1)≥12.
所以3k2-(k+1)2=2k(k-1)-1>0,
即3k2>(k+1)2
故3k>3k2>(k+1)2
因此当n=k+1时原式成立.
由①②可知,当n≥4时,有3n-1>n2
即Sn>6n2-2.
故当n=1,3时,有Sn=6n2-2;
当n=2时,有Sn<6n2-2;
当n≥4时,有Sn>6n2-2.
点评:考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前n项和的公式,会用数学归纳法对猜想进行证明.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网