题目内容
已知函数
．
(Ⅰ)求函数
的最小值；
(Ⅱ)求证：
；
(Ⅲ)对于函数
与
定义域上的任意实数
，若存在常数
，使得
和
都成立，则称直线
为函数与的“分界线”.设函数
，
，与是否存在“分界线”？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
(Ⅰ)的最小值为
；(Ⅱ)详见解析；（Ⅲ）
，
解析试题分析：(Ⅰ)求导得：
，由此可得函数在
上递减，
上递增，
从而得的最小值为．
(Ⅱ)注意用第(Ⅰ)小题的结果.由(Ⅰ)知
.这个不等式如何用？结合所在证的不等式可以看出，可以两端同时乘以
变形为：
，把
换成
得
，在这个不等式中令
然后将各不等式相乘即得.
（Ⅲ）结合题中定义可知，分界线就是一条把两个函数的图象分开的直线.那么如何确定两个函数是否存在分界线？显然，如果两个函数的图象没有公共点，则它们有无数条分界线，如果两个函数至少有两个公共点，则它们没有分界线.所以接下来我们就研究这两个函数是否有公共点.为此设
.通过求导可得当
时
取得最小值0，这说明与的图象在
处有公共点
．如果它们存在分界线，则这条分界线必过该点.所以设与的“分界线”方程为
.由于的最小值为0，所以
，所以分界线必满足
和
.下面就利用这两个不等式来确定
的值.
试题解析：(Ⅰ)解：因为，令
，解得
，
令
，解得
，
所以函数在上递减，上递增，
所以的最小值为． 3分
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知函数在
取得最小值，所以
，即
两端同时乘以得，把换成得，当且仅当
时等号成立．
由得，
，
， 
， 
，
．
将以上各式相乘得：
． 9分
（Ⅲ）设
.
则
．
所以当
时，
；当
时，
．
因此时取得最小值0，则与的图象在处有公共点．
设与存在 “分界线”，方程为.
练习册系列答案
相关题目
为实常数，函数
.
的单调性；
；
且
.（注：
为自然对数的底数）
，
．
在
与
处的切线相互平行，求
的值及切线斜率；
上单调递减，求
的图像C1与函数
的图像C2交于P、Q两点，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，证明：C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不可能平行．
，其中实数a为常数．
的单调区间：
（e为自然对数的底数）上的最大值为-3，求a的值；
．
.
，求函数
的极值，并指出是极大值还是极小值；
，求证：在区间
上，函数
的图像的下方.
的图象在
上连续，定义：
，
.其中，
表示函数
上的最小值，
表示函数
，使得
对任意的
成立，则称函数
，试写出
，
的表达式；
，试判断
上的“
，函数
是
上的2阶收缩函数，求
的取值范围.
.
的极值点；
时，若对任意的
，恒有
，求
的取值范围；
.
元，则销售量
（单位：件）与零售价
，问该商品零售价定为多少元时毛利润
最大，并求出最大毛利润．（毛利润
销售收入
进货支出）
．
与
的图象在公共点P处有相同的切线，求实数
的值及点P的坐标；