题目内容
9．
已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率e=$\frac{1}{2}$，F（1，0），是椭圆C的右焦点，若不经过原点O的直线l：y=kx+m（k＞0）与椭圆C相交于不同的两点A、B，记直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且k1•k2=k2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求证：直线AB的斜率为定值，并求△AOB面积的最大值．
分析 （Ⅰ）由条件利用椭圆的性质求出a、b的值，可得椭圆C的方程．
（Ⅱ）把直线l：y=kx+m（k＞0）代入椭圆的方程，利用韦达定理、点到直线的距离公式、弦长公式求出S△AOB=$\frac{1}{2}$•AB•d=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{\frac{4（6{-m}^{2}）{•m}^{2}}{3}}$≤$\sqrt{3}$，从而证得结论．
解答 解：（Ⅰ）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，c=1，∴a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆C的方程为 $\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（Ⅱ）证明：设点A（x1，y1）、B（x2，y2），把直线l：y=kx+m（k＞0）代入椭圆 $\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
可得 （4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0．
由△=48（3-m2+4k2）＞0，x1+x2=-$\frac{8km}{{4k}^{2}+3}$，x1•x2=$\frac{{4m}^{2}-12}{{4k}^{2}+3}$．
由k1•k2=$\frac{（{kx}_{1}+m）•（{kx}_{2}+m）}{{x}_{1}{•x}_{2}}$=k2+$\frac{km{（x}_{1}{+x}_{2}）{+m}^{2}}{{x}_{1}{•x}_{2}}$=k2．
可得km（x1•x2 ）+m2=0，即 km•（-$\frac{8km}{{4k}^{2}+3}$ ）+m2=0，即 3m2=4k2•m2，∴k=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，为定值．
由于AB=$\sqrt{{1+k}^{2}}$|x1-x2|=$\frac{\sqrt{7}}{2}$•$\sqrt{\frac{24-{4m}^{2}}{3}}$，点O到直线AB的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{{1+k}^{2}}}$=$\frac{2|m|}{\sqrt{7}}$，
故S△AOB=$\frac{1}{2}$•AB•d=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{\frac{4（6{-m}^{2}）{•m}^{2}}{3}}$≤$\sqrt{3}$，∴△AOB面积的最大值为$\sqrt{3}$．
点评 本题主要考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题．
| A． | 锐角三角形 | B． | 直角三角形 | ||
| C． | 钝角三角形 | D． | 锐角或钝角三角形 |
已知在梯形ABCD中，AD∥BC，ADCD，AD=2BC=2CD=2，M，N，E分别为，AB，CD，AD的中点，将△ABE沿BE折起，使折叠后AD=1
| A． | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | B． | $\frac{1}{4}$ | C． | $\frac{2-\sqrt{2}}{2}$ | D． | 2-$\sqrt{2}$ |