题目内容
设函数
.
（1）求函数的图像在点
处的切线方程；
（2）求
的单调区间；
（3）若
，
为整数，且当
时，
，求
的最大值．
（1）函数
的图像在点
处的切线方程为
；（2）若
， 
在区间
上单调递增，若
，在区间
上单调递减，在
上单调递增；（3）整数
的最大值为2.
【解析】
试题分析：（1）求函数的图像在点处的切线方程，只需求出斜率
即可，由导数的几何意义可知，
，因此对函数
求导，得
，求出
的斜率，由点斜式可得切线方程；（2）求函数的单调区间，可先求出函数的导数，由于函数中含有字母
，故应按的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性，给出单调区间；（3）由题设条件结合（2），将不等式，
在
时成立转化为
成立，由此问题转化为求
在上的最小值问题，求导，确定出函数的最小值，即可得出
的最大值．本题解题的关键一是应用分类的讨论的方法，第二是化归思想，将问题转化为求函数的最小值问题．
试题解析：（1）
，
，
函数的图像在点处的切线方程为
（2）.
若，则
恒成立，所以，在区间上单调递增.
若，则当
时，
，当
时，
，
所以，在区间上单调递减，在上单调递增.
（3）由于
，所以，
故当时，
①
令，则
函数
在
上单调递增，而
所以
在
上存在唯一的零点，故
在上存在唯一的零点.
设此零点为
，则
.当
时，
；当
时，
；
所以，
在上的最小值为
.由
可得
所以，
由于①式等价于
.
故整数的最大值为2.
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
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