Question

在数列{a_n}中，已知a1=

1

4

，

an+1

an

=

1

4

，bn+2=3log

1

4

an(n∈N*)．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列{b_n}是等差数列；
（3）设数列{c_n}满足c_n=a_n•b_n，求{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由

an+1

an

=

1

4

，知数列a_n是首项为

1

4

，公比为

1

4

的等比数列，，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由bn=3log

1

4

an-2，知bn=3log

1

4

(

1

4

)n-2=3n-2，由此能证明数列{b_n}是等差数列；
（3）由an=(

1

4

)n，bn=3n-2(n∈N*)，知cn=(3n-2)×(

1

4

)n，(n∈N*)．Sn=1×

1

4

+4×(

1

4

)2+7×(

1

4

)3++(3n-5)×(

1

4

)n-1+(3n-2)×(

1

4

)n，由错位相减法能求出{c_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）∵

an+1

an

=

1

4

∴数列{a_n}是首项为

1

4

，公比为

1

4

的等比数列，
∴an=(

1

4

)n(n∈N*)．（2分）
（2）∵bn=3log

1

4

an-2（3分）
∴bn=3log

1

4

(

1

4

)n-2=3n-2．（4分）
∴b₁=1，公差d=3
∴数列{b_n}是首项b₁=1，公差d=3的等差数列．（5分）
（3）由（1）知，an=(

1

4

)n，bn=3n-2(n∈N*)
∴cn=(3n-2)×(

1

4

)n，(n∈N*)．（6分）
∴Sn=1×

1

4

+4×(

1

4

)2+7×(

1

4

)3++(3n-5)×(

1

4

)n-1+(3n-2)×(

1

4

)n，
于是

1

4

Sn=1×(

1

4

)2+4×(

1

4

)3+7×(

1

4

)4++(3n-5)×(

1

4

)n+(3n-2)×(

1

4

)n+1（10分）
两式相减得

3

4

Sn=

1

4

+3[(

1

4

)2+(

1

4

)3++(

1

4

)n]-(3n-2)×(

1

4

)n+1=

1

2

-(3n+2)×(

1

4

)n+1．（12分）
∴Sn=

2

3

-

12n+8

3

×(

1

4

)n+1(n∈N*)．（14分）

点评：本题考查等比数的通项公式的求法、等差数列的证明方法和错位相减法求数列的前n项和，解题时要熟练掌握数列性质的合理运用．