题目内容
【题目】设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l,A∈C,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点;
(1)若∠BFD=90°,△ABD的面积为 ,求p的值及圆F的方程;
(2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.
【答案】
(1)解:由对称性知:△BFD是等腰直角△,斜边|BD|=2p
点A到准线l的距离 ,
∵△ABD的面积S△ABD= ,
∴ =
,
解得p=2,所以F坐标为(0,1),
∴圆F的方程为x2+(y﹣1)2=8
(2)解:由题设 ,则
,
∵A,B,F三点在同一直线m上,
又AB为圆F的直径,故A,B关于点F对称.
由点A,B关于点F对称得:
得: ,直线
,
切点
直线
坐标原点到m,n距离的比值为
【解析】(1)由对称性知:△BFD是等腰直角△,斜边|BD|=2p点A到准线l的距离 ,由△ABD的面积S△ABD=
,知
=
,由此能求出圆F的方程.(2)由对称性设
,则
点A,B关于点F对称得:
,得:
,由此能求出坐标原点到m,n距离的比值.
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【题目】某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.
一次性购物量 | 1至4件 | 5 至8件 | 9至12件 | 13至16件 | 17件及以上 |
顾客数(人) | x | 30 | 25 | y | 10 |
结算时间(分钟/人) | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 |
已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x,y的值,并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望;
(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.(注:将频率视为概率)