Question

关于函数f(x)=

(x-3)e-x，x≥0 2ax-3，x＜0

（a为常数，且a＞0），对于下列命题：
①函数f（x）在每一点处都连续；
②若a=2，则函数f（x）在x=0处可导；
③函数f（x）在R上存在反函数；
④函数f（x）有最大值

1

e4

；
⑤对任意的实数x₁＞x₂≥0，恒有f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f(x2)

2

；
其中正确命题的序号是______．

Answer 1

①x=0时，（0-3）e⁰=-3，x=0时，2ax-3有意义，且2ax-3=-3，
∴函数f（x）在x=0处都连续，即函数f（x）在每一点处都连续；
∴①正确
②f′（x）=

e-x(4-x)  x≥0 2a         x＜0

（a＞0），
x=0时，e⁰（4-0）=4，令2a=4得a=2，
∴a=2，函数f（x）在x=0处可导；
∴②正确
③令f′（x）＞0，得x＜4，令f′（x）＜0，得x＞4，
∴f（x）在（-∞，4]上是增函数，在[4，+∞）上是减函数，
∴函数f（x）在R上不存在反函数；
∴③错误
④令f′（x）=0，得x=4，x＜4时，f′（x）＞0，x＞4时，f′（x）＜0，
∴x=4时，f（x）有最大值为f（4）=e^-4=

1

e4

；
∴④正确
⑤在函数f（x）[0，+∞）上任取两点（x₁，f（x₁））（x₂，f（x₂））
∵f（x）的图象在[0，+∞）上是上凸的，所以两点连线应在图象的下方，
∴f（

x1+x2

2

）＞

f(x1) +f(x2)

2

∴⑤错误．
故答案为①②④