Question

关于函数f(x)=x+

1

x

的性质，有如下说法：
①函数f（x）的最小值为3；
②函数f（x）为偶函数；
③函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞）．
其中所有正确说法的个数为（　　）

A．3

B．2

C．1

D．0

Answer 1

分析：利用双钩函数f（x）=x+

1

x

的奇偶性、单调性与最值对①②③三个选项逐一判断即可．

解答：解：∵f（x）=x+

1

x

，
∴f（1）=2，故①错误；
又f（-x）=-x-

1

x

=-（x+

1

x

）=-f（x），
∴f（x）=x+

1

x

为奇函数，故②错误；
∵f′（x）=1-

1

x2

=

x2-1

x2

=

(x+1)(x-1)

x2

，
令f′（x）＞0，得x＜-1或x＞1，
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞），即③正确．
综上所述，所有正确说法的个数为1个．
故选：C．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查双钩函数f（x）=x+

1

x

的奇偶性、单调性与最值，属于中档题．