Question

【题目】已知函数f(x)＝ax＋ (a＞1)，

(1)判断函数f(x)在(－1，＋∞)上的单调性，并证明你的判断；

(2)若a＝3，求方程f(x)＝0的正根(精确到0.1)．

Answer 1

【答案】（1）函数 在 上为增函数;证明见解析

（2）区间中点0.28125的近似值0.3为满足条件的近似值

【解析】试题分析：（1）用定义法证明单调性.任取x1，x2∈(－1，＋∞)且x1＜x2代入 做差得 ，所以f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；（2）用二分法求此正根.f(x)在(0，＋∞)上为增函数，因此f(x)＝0仅有一个正根，因为 f(0)＝－1＜0，f(1)＝ ＞0，所以可取[0,1]为计算的初始区间列出表格，由于区间[0.25,0.3125]的长度是0.3125－0.25＝0.0625＜0.1，所以区间中点0.28125的近似值0.3为满足条件的近似值．

试题解析：

解：(1)任取x1，x2∈(－1，＋∞)且x1＜x2，

f(x1)－f(x2)＝a－a＋－

＝(a－a)＋，

∵x1，x2∈(－1，＋∞)且x1＜x2，∴x1＋1＞0，x2＋1＞0，x1－x2＜0，a－a＜0.

∴f(x1)＜f(x2)．∴函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．

(2)由(1)知f(x)在(0，＋∞)上为增函数，因此f(x)＝0的正根仅有一个，可用二分法求此正根的近似值．

由于f(0)＝－1＜0，f(1)＝ ＞0，取[0,1]为计算的初始区间，列表如下：

	左端点	右端点
第1次	0	1
第2次	0	0.5
第3次	0.25	0.5
第4次	0.25	0.375
第5次	0.25	0.3125

由于区间[0.25,0.3125]的长度是0.3125－0.25＝0.0625＜0.1，所以区间中点0.28125的近似值0.3为满足条件的近似值．