题目内容

15.已知数列{an}的各项均为正数,bn=n(1+$\frac{1}{n}$)nan(n∈N+),e为自然对数的底数.
(1)求函数f(x)=1+x-ex的单调区间,并比较(1+$\frac{1}{n}$)n与e的大小;
(2)计算$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$,$\frac{{b}_{1}{b}_{2}}{{a}_{1}{a}_{2}}$,$\frac{{b}_{1}{{b}_{2}b}_{3}}{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}}$,由此推测计算$\frac{{b}_{1}{b}_{2}…{b}_{n}}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}}$的公式,并给出证明;
(3)令cn=(a1a2…an)${\;}^{\frac{1}{n}}$,数列{an},{cn}的前n项和分别记为Sn,Tn,证明:Tn<eSn

分析 (1)求出f(x)的定义域,利用导数求其最大值,得到1+x<ex.取x=$\frac{1}{n}$即可得到答案;
(2)由bn=n(1+$\frac{1}{n}$)nan(n∈N+),变形求得$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$,$\frac{{b}_{1}{b}_{2}}{{a}_{1}{a}_{2}}$,$\frac{{b}_{1}{{b}_{2}b}_{3}}{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}}$,由此推测$\frac{{b}_{1}{b}_{2}…{b}_{n}}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}}$=(n+1)n.然后利用数学归纳法证明.
(3)由cn的定义、$\frac{{b}_{1}{b}_{2}…{b}_{n}}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}}$=(n+1)n、算术-几何平均不等式、bn的定义及$(1+\frac{1}{n})^{n}<e$,利用放缩法证得Tn<eSn

解答 (1)解:f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)=1-ex
当f′(x)>0,即x<0时,f(x)单调递增;
当f′(x)<0,即x>0时,f(x)单调递减.
故f(x)的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(0,+∞).
当x>0时,f(x)<f(0)=0,即1+x<ex
令$x=\frac{1}{n}$,得$1+\frac{1}{n}<{e}^{\frac{1}{n}}$,即$(1+\frac{1}{n})^{n}<e$.①
(2)解:$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}=1•(1+\frac{1}{1})^{1}=1+1=2$;$\frac{{b}_{1}{b}_{2}}{{a}_{1}{a}_{2}}=\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}•\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$=$2•2(1+\frac{1}{2})^{2}=(2+1)^{2}={3}^{2}$;
$\frac{{b}_{1}{b}_{2}{b}_{3}}{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}}=\frac{{b}_{1}{b}_{2}}{{a}_{1}{a}_{2}}•\frac{{b}_{3}}{{a}_{3}}={3}^{2}•3(1+\frac{1}{3})^{3}=(3+1)^{3}={4}^{3}$.
由此推测:$\frac{{b}_{1}{b}_{2}…{b}_{n}}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}}$=(n+1)n.②
下面用数学归纳法证明②.
(1)当n=1时,左边=右边=2,②成立.
(2)假设当n=k时,②成立,即$\frac{{b}_{1}{b}_{2}…{b}_{k}}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{k}}=(k+1)^{k}$.
当n=k+1时,${b}_{k+1}=(k+1)(1+\frac{1}{k+1})^{k+1}{a}_{k+1}$,由归纳假设可得
$\frac{{b}_{1}{b}_{2}…{b}_{k}{b}_{k+1}}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{k}{a}_{k+1}}=\frac{{b}_{1}{b}_{2}…{b}_{k}}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{k}}•\frac{{b}_{k+1}}{{a}_{k+1}}$=$(k+1)^{k}(k+1)(1+\frac{1}{k+1})^{k+1}=(k+2)^{k+1}$.
∴当n=k+1时,②也成立.
根据(1)(2),可知②对一切正整数n都成立.
(3)证明:由cn的定义,②,算术-几何平均不等式,bn的定义及①得
Tn=c1+c2+…+cn=$({a}_{1})^{\frac{1}{1}}+({a}_{1}{a}_{2})^{\frac{1}{2}}+({a}_{1}{a}_{2}{a}_{3})^{\frac{1}{3}}+…+({a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n})^{\frac{1}{n}}$
=$\frac{({b}_{1})^{\frac{1}{1}}}{2}+\frac{({b}_{1}{b}_{2})^{\frac{1}{2}}}{3}+\frac{({b}_{1}{b}_{2}{b}_{3})^{\frac{1}{3}}}{4}+…+$$\frac{({b}_{1}{b}_{2}…{b}_{n})^{\frac{1}{n}}}{n+1}$
$≤\frac{{b}_{1}}{1×2}+\frac{{b}_{1}+{b}_{2}}{2×3}+\frac{{b}_{1}+{b}_{2}+{b}_{3}}{3×4}+…+\frac{{b}_{1}+{b}_{2}+…+{b}_{n}}{n(n+1)}$
=${b}_{1}[\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+…+\frac{1}{n(n+1)}]$$+{b}_{2}[\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n(n+1)}]$$+…+{b}_{n}•\frac{1}{n(n+1)}$
=${b}_{1}(1-\frac{1}{n+1})+{b}_{2}(\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1})+…+{b}_{n}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$
$<\frac{{b}_{1}}{1}+\frac{{b}_{2}}{2}+…+\frac{{b}_{n}}{n}$=$(1+\frac{1}{1})^{1}{a}_{1}+(1+\frac{1}{2})^{2}{a}_{2}+…+(1+\frac{1}{n})^{n}{a}_{n}$
<ea1+ea2+…+ean=eSn
即Tn<eSn

点评 本题主要考查导数在研究函数中的应用,考查利用归纳法证明与自然数有关的问题,考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识,考查了利用放缩法法证明数列不等式,是压轴题.

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