Question

11．F是椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$的左焦点，P是椭圆上的动点，A（1，1）为定点，则|PA|+|PF|的最小值是（　　）

• A． 9-$\sqrt{2}$
• B． 3+$\sqrt{2}$
• C． 6-$\sqrt{2}$
• D． 6+$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 涉及|PF|时，一般可以想到椭圆的定义，所以设该椭圆的右焦点为F′，则：|PF|+|PF′|=6，所以|PA|+|PF|=6+|PA|-|PF′|．这时候可以作出图形，根据图形即可看出||PA|-|PF′||≤|AF′|=$\sqrt{2}$，这样即可求得|PA|-|PF′|的最小值，从而求出|PA|+|PF|的最小值．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$的a=3，b=$\sqrt{5}$，c=2，
如图，设椭圆的右焦点为F'（2，0），
则|PF|+|PF′|=2a=6；
∴|PA|+|PF|=|PA|+6-|PF′|
=6+|PA|-|PF′|；
由图形知，当P在直线AF′上时，
||PA|-|PF′||=|AF′|=$\sqrt{2}$，
当P不在直线AF′上时，
根据三角形的两边之差小于第三边有，
||PA|-|PF′||＜|AF′|=$\sqrt{2}$；
∴当P在F'A的延长线上时，|PA|-|PF′|取得最小值-$\sqrt{2}$，
∴|PA|+|PF|的最小值为6-$\sqrt{2}$．
故选：C．

点评 本题考查椭圆的标准方程，椭圆的焦点，以及椭圆的定义，以及三角形两边之差小于第三边，及数形结合求最值．