题目内容
【题目】若有穷数列满足
,则称
为
数列.
(1)写出满足的两个
数列
;
(2)若,
,证明:
数列是递增数列的充要条件是
;
(3)记,对任意给定的正整数
,是否存在
的
数列
,使得
?如果存在,求出正整数
满足的条件;如果不存在,说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)当或
时存在.当
或
时不存在,理由见解析
【解析】
(1)根据以及
,写出两个即可;
(2)先证必要性,由数列是递增数列可得
是首项为1,公差为1的等差数列,根据等差数列的通项公式可得
,再证必要性,根据
以及等号成立的条件可得
数列是递增数列,可得
,可得
(3)设,可得
,可得
或
.
(1)如;
(答案不唯一)
(2)必要性证明:
因为递增,所以
.
充分性证明:
因为,所以
,所以
,
所以,
由等号成立,得到,故
递增.
(3)设.
所以.
因为为偶数,
所以为偶数,即
或
.
所以当或
时存在.当
或
时不存在.
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