题目内容
【题目】将所有平面向量组成的集合记作
，
是从到的对应关系，记作
或
，其中
、
、
、
都是实数，定义对应关系的模为：在
的条件下
的最大值记作
，若存在非零向量
，及实数
使得
，则称为的一个特殊值；
（1）若
，求；
（2）如果
，计算的特征值，并求相应的
；
（3）若
，要使有唯一的特征值，实数
、
、
、
应满足什么条件？试找出一个对应关系，同时满足以下两个条件：①有唯一的特征值，②
，并验证满足这两个条件.
【答案】(1) 
；(2) 当
时,
;当
时, 
.其中
且
；(3) 
,证明见解析
【解析】
(1)由新定义得
,再利用
得
即可.
(2)由特征值的定义可得
,由此可得
的特征值,及相应的
(3) 解方程组
,再利用平行向量的方法求解证明即可.
(1)由于此时,又因为是在的条件下,有
,当
时取最大值,所以此时有;
(2)由
,可得：,
解此方程组可得：
,从而
.
当时,解方程组
,此时这两个方程是同一个方程,所以此时方程有无穷多个解,为
(写出一个即可),其中且.
当时,同理可得,相应的
(写出一个即可),其中且 (3)解方程组,可得
从而向量
与
平行,从而有
、
、
、
应满足：.
当
时,有唯一的特征值,且
.具体证明为：
由的定义可知：
,所以
为特征值.
此时
满足：,所以有唯一的特征值.
在的条件下
,从而有.
【题目】某市对高二学生的期末理科数学测试的数据统计显示,全市10000名学生的成绩服从正态分布
,现从甲校100分以上(含100分)的200份试卷中用系统抽样中等距抽样的方法抽取了20份试卷来分析(试卷编号为001,002,…,200)统计如下:
试卷编号 |
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试卷得分 | 109 | 118 | 112 | 114 | 126 | 128 | 127 | 124 | 126 | 120 |
试卷编号 |
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试卷得分 | 135 | 138 | 135 | 137 | 135 | 139 | 142 | 144 | 148 | 150 |
注:表中试卷编
(1)写出表中试卷得分为144分的试卷编号(写出具体数据即可);
(2)该市又从乙校中也用与甲校同样的抽样方法抽取了20份试卷,将甲乙两校这40份试卷的得分制作了茎叶图(如图)在甲乙两校这40份学生的试卷中,从成绩在140分以上(含140分)的学生中任意抽取3人,该3人在全市排名前15名的人数记为
的分布列和期望.
附:若随机变量服从正态分布
,则
,
,
.
