题目内容
【题目】如图,四棱锥的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的
倍,
为侧棱
上的点.
(1)求证:;
(2)若平面
,求二面角
的大小;
(3)在(2)的条件下,侧棱上是否存在一点
,使得
平面
.若存在,求
的值;若不存在,试说明理由.
【答案】(1)见证明;(2) (3)见解析
【解析】
(1)先证明平面
,即可得到
;
(2)由题设知,连,设
交于
于
,由题意知
平面
.以
为坐标原点,
,
,
分别为
轴、
轴、
轴正方向,建立空间直角坐标系,分别求出平面
与平面
的一个法向量,求法向量的夹角余弦值,即可求出结果;
(3)要使平面
,只需
与平面的法向量垂直即可,结合(2)中求出的平面
的一个法向量,即可求解.
(1)连交
于
,由题意
.
在正方形中,
,
所以平面
,得
(2)由题设知,连,设
交于
于
,由题意知
平面
.以
为坐标原点,
,
,
分别为
轴、
轴、
轴正方向,建立坐标系
如图.
设底面边长为,则高
.
则,
,
又平面
,
则平面的一个法向量
,
平面的一个法向量
,
则,
又二面角为锐角,则二面角
为
;
(3)在棱上存在一点
使
平面
.由(2)知
是平面
的一个法向量,
且,
设,
则
又平面
,所以
,
则.
即当时,
而不在平面
内,故
平面
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】目前有声书正受着越来越多人的喜爱.某有声书公司为了解用户使用情况,随机选取了名用户,统计出年龄分布和用户付费金额(金额为整数)情况如下图.
有声书公司将付费高于元的用户定义为“爱付费用户”,将年龄在
岁及以下的用户定义为“年轻用户”.已知抽取的样本中有
的“年轻用户”是“爱付费用户”.
(1)完成下面的列联表,并据此资料,能否有
的把握认为用户“爱付费”与其为“年轻用户”有关?
爱付费用户 | 不爱付费用户 | 合计 | |
年轻用户 | |||
非年轻用户 | |||
合计 |
(2)若公司采用分层抽样方法从“爱付费用户”中随机选取人,再从这
人中随机抽取
人进行访谈,求抽取的
人恰好都是“年轻用户”的概率.
.