题目内容
函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，则 ( )
A．f(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数
C．f(x)＝f(x＋2) D．f(x＋3)是奇函数
D
解析 由y＝f(x＋1)为奇函数知f(x＋1)＝－f(－x＋1)， ①
y＝f(x－1)为奇函
数知f(x－1)＝－f(－x－1)， ②
由①，得f(－x)＝－f(
2＋x)．
由②，得f(－x)＝－f(x－2)．
∴f(2＋x)＝f(x－2)．
即f(x＋4)＝f(x)．
∴函数y＝f(x)是以4为周期的函数．
∴由②知，f(x－1＋4)＝－f(－x－1＋4)．
∴f(x＋3)＝－f(－x＋3)．
∴函数f(x＋3)是奇函数．
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