Question

（2012•马鞍山二模）设x₁，x₂是关于x的方程x2+mx+

1+m2

=0的两个不相等的实数根，那么过两点A(x1，x12)，B(x2，x22)的直线与圆x²+y²=2的位置关系是（　　）

A．相切

B．相离

C．相交

D．随m的变化而变化

Answer 1

分析：由x₁、x₂是关于x的方程的两个不相等的实数根，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，再由A和B的坐标，利用直线斜率的公式求出直线AB的斜率，利用平方差公式化简约分后得到结果，将两根之和代入表示出斜率，由A和斜率写出直线AB的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线AB的距离d，将表示出的两根之和与两根之积代入，整理后得到d小于r，可得出直线AB与圆相交．

解答：解：∵x₁，x₂是关于x的方程x2+mx+

1+m2

=0的两个不相等的实数根，
∴x₁+x₂=-m，x₁x₂=

1+m2

＞0，
又A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²），
∴直线AB的斜率k=

x12-x22

x1-x2

=x₁+x₂=-m，
∴直线AB的方程为y-x₁²=-m（x-x₁），即mx+y-mx₁-x₁²=0，
由圆x²+y²=2，得到圆心（0，0），半径r=

2

，
∵圆心到直线AB的距离d=

|x1(m+x1)|

m2+1

=

|x1(-x1-x2+x1)|

x1x2

=

x1x2

x1x2

=1＜

2

=r，
则直线与圆的位置关系是相交．
故选C

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，韦达定理，涉及的知识有：直线的两点式方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系由d与r的大小来判断，当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）．