Question

15．如图所示，已知F₁，F₂为双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的两个焦点，且|F₁F₂|=2，若以坐标原点O为圆心，|F₁F₂|为直径的圆与该双曲线的左支相交于A，B两点，且△F₂AB为正三角形，则双曲线的实轴长为$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 根据△F₂AB是等边三角形，判断出∠AF₂F₁=30°，进而在RT△AF₁F₂中求得|AF₁|，|AF₂|，进而根据双曲线的简单性质求得a可得．

解答 解：∵△F₂AB是等边三角形，
∴∠AF₂F₁=30°，
∵|F₁F₂|=2，∴|AF₁|=1，|AF₂|=$\sqrt{3}$，
∴a=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
∴2a=$\sqrt{3}$-1．
故答案为：$\sqrt{3}$-1．

点评 本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生综合分析问题和数形结合的思想的运用．属基础题．