Question

（本小题满分13分）

在一条笔直的工艺流水线上有个工作台，将工艺流水线用如图所示的数轴表示，各工作台的坐标分别为，，，每个工作台上有若干名工人．现要在与之间修建一个零件供应站，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短．

（Ⅰ）若每个工作台上只有一名工人，试确定供应站的位置；

（Ⅱ）设工作台从左到右的人数依次为，，，试确定供应站的位置，并求所有工人到供应站的距离之和的最小值．

图5

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）最小值为，

【解析】设供应站坐标为，各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为．

（Ⅰ）由题设知，，所以

                      ……分

                           ．                                   ……分

故当时，取最小值，此时供应站的位置为．            ……分

（Ⅱ）由题设知，，所以各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为

                   ．       ……分

且                                         ……分

因此，函数在区间上是减函数，在区间上是常数．故供应站位置位于区间上任意一点时，均能使函数取得最小值，且最小值为，．   ……分