Question

【题目】动点分别到两定点连线的斜率的乘积为,设的轨迹为曲线分别为曲线的左、右焦点,则下列命题中:

(1)曲线的焦点坐标为;

(2)若,则;

(3)当时,△的内切圆圆心在直线上;

(4)设,则的最小值为;

其中正确命题的序号是:______________．

Answer 1

【答案】(1)(2)(3)(4)

【解析】由题意,化简可得,则,故(1)正确;

不妨设点M在右支上,由双曲线的定义可得,两边平方可得,

由余弦定理可得===,

两式联立可得,

所以,故(2)正确;

设A为内切圆与x轴的切点,|F2M|-|F1M|=|F2A|-|F1A|=2a=6,|F2A|+|F1A|=2c=10,∴|F2A|=8,|F1A|=2,

∴5-xA=8,解得xA=-3,

设圆心P,则PO⊥x轴,从而可得圆心在直线x=-3上,因此(3)正确;

不妨设点M在双曲线的右支上,

∵|MF1|-|MF2|=2a=6,

∴|MA|+|MF2|=|MA|+|MF1|-6,

当A、M、F1三点共线时,|MA|+|MF2|的最小值为|AF1|-6=,故(4)正确,

因此答案为(1)(2)(3)(4).