题目内容
6．已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn=$\frac{4}{{{a}_{n}a}_{n+1}}$，求数列{bn}的前n项和Tn．
分析 （1）设出等差数列{an}的首项为a1，由S1，S2，S4成等比数列列式求得a1=1．代入等差数列的通项公式得答案；
（2）把数列{an}的通项公式代入bn．利用裂项法求得数列{bn}的前n项和Tn；
解答 解：（1）设等差数列{an}的首项为a1，由S1，S2，S4成等比数列，
得$（2{a}_{1}+d）^{2}={a}_{1}（4{a}_{1}+6d）$，
即$（2{a}_{1}+2）^{2}={a}_{1}（4{a}_{1}+12）$，
解得：a1=1．
∴an=a1+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1；
（2）bn=$\frac{4}{{{a}_{n}a}_{n+1}}$=$\frac{4}{（2n-1）（2n+1）}$=2（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
则Tn=2（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=2（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{4n}{2n+1}$．
点评 本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．
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