Question

11．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x（x-1）
（1）画出f（x）的图象，并求出f（x）的解析式．
（2）求不等式f（x）＜0的解集．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的性质即可求出f（x）的解析式．
（2）结合函数的解析式即可不等式f（x）＜0的解集．

解答 解：（1）若x≤0，则-x≥0，
∵当x≥0时，f（x）=x（x-1）
∴当-x≥0时，f（-x）=-x（-x-1），
∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（-x）=f（x），即f（-x）=-x（-x-1）=f（x），
则f（x）=-x（-x-1）=x（x+1），x≤0，
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（x-1），}&{x≥0}\\{x（x+1），}&{x＜0}\end{array}\right.$，对应的图象如图：．
（2）当x≥0时，由f（x）＜0得x（x-1）＜0，解得0＜x＜1，
当x≤0时，由f（x）＜0得x（x+1）＜0，解得-1＜x＜0，
综上0＜x＜1或-1＜x＜0，
即不等式的解集为（-1，0）∪（0，1）．

点评 本题主要考查函数解析式的求解，利用函数奇偶性的性质是解决本题的关键．