Question

11．已知$\sqrt{\frac{1+sina}{1-sina}}$-$\sqrt{\frac{1-sina}{1+sina}}$=-2tana，试确定使等式成立的a的取值集合．

Answer 1

分析 把根式内部的代数式分子分母同时乘以分母的有理化因式，开方后得到cosa的符号，由三角函数的象限符号得答案．

解答 解：由$\sqrt{\frac{1+sina}{1-sina}}$-$\sqrt{\frac{1-sina}{1+sina}}$
=$\sqrt{\frac{（1+sina）^{2}}{（1-sina）（1+sina）}}-$$\sqrt{\frac{（1-sina）^{2}}{（1+sina）（1-sina）}}$
=$\frac{1+sina}{|cosa|}-\frac{1-sina}{|cosa|}$=$\frac{2sina}{|cosa|}$=-2tana，
得cosa＜0，或sina=0．
∴$\frac{π}{2}+2kπ＜a＜\frac{3π}{2}+2kπ，k∈Z$，或a=2kπ，k∈Z．
∴a的取值集合为（$\frac{π}{2}+2kπ，\frac{3π}{2}+2kπ$）（k∈Z）∪{a|a=2kπ，k∈Z}．

点评 本题考查同角三角函数的基本关系式，考查了三角函数的象限符号，是基础题．