题目内容

13.在等差数列{an}中,a3=2,a9=2a4
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=$\frac{1}{{2n{a_n}}}$,求数列{bn}的前n项和Sn

分析 (1)根据等差数列的性质得出方程组$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+2d=2\\{a_1}-2d=0.\end{array}\right.$求解得出a1,d.运用通项公式求解即可.
(2)把bn裂项得出${b_n}=\frac{1}{n(n+1)}$=$\frac{1}{n}$$-\frac{1}{n+1}$,出现正负项,即可求解和.

解答 解:(1)设等差数列的首项为a1,公差为d.
因为$\left\{\begin{array}{l}{a_3}=2\\{a_9}=2{a_4}\end{array}\right.$
所以$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+2d=2\\{a_1}-2d=0.\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\ d=\frac{1}{2}.\end{array}\right.$
所以通项公式为:${a_n}={a_1}+(n-1)d=\frac{n+1}{2}$.
(Ⅱ)因为${b_n}=\frac{1}{n(n+1)}$,
所以${S_n}=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+…+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$=$\frac{n}{n+1}$.

点评 本题考察了等差数列的常规题型知三求二,裂项法求解数列的和,属于中档题,计算准确即可.

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