Question

15．已知数列{a_n}是首项为1，公差为d的等差数列，数列{b_n}是首项为1，公比为q（q＞1）的等比数列，且a₂=b₂，a₃+b₃=7．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）数列{c_n}满足c_n=a_n+b_n，T_n为数列{c_n}前n项和，求T_n；
（3）若不等式（-1）ⁿx＜（-1）ⁿ⁺¹a_n+b_n对于任意的n∈N⁺都成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由数列{a_n}是首项为1，公差为d的等差数列，数列{b_n}是首项为1，公比为q（q＞1）的等比数列，且a₂=b₂，a₃+b₃=7．可得1+d=q，1+2d+q²=7，解出即可得出．
（2）利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．
（3）不等式（-1）ⁿx＜（-1）ⁿ⁺¹a_n+b_n，对n分类讨论，利用数列的单调性即可得出．

解答 解：（1）∵数列{a_n}是首项为1，公差为d的等差数列，数列{b_n}是首项为1，公比为q（q＞1）的等比数列，且a₂=b₂，a₃+b₃=7．
∴1+d=q，1+2d+q²=7，
解得d=1，q=2．
∴a_n=n，b_n=2^n-1；
（2）c_n=a_n+b_n=n+2^n-1．
∴数列{c_n}前n项和T_n=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$=$\frac{n（n+1）}{2}$+2ⁿ-1．
（3）不等式（-1）ⁿx＜（-1）ⁿ⁺¹a_n+b_n，
当n为偶数时，不等式化为x＜-n+2^n-1，
∵-n+2^n-1≥0，∴x＜0．
当n为奇数时，不等式化为-x＜+n+2^n-1，
∵n+2^n-1≥2，∴x＜-2．
∴实数x的取值范围是（-2，0）．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项的和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与技能数列，属于中档题．