题目内容
5.已知函数f(x)=$\frac{lnx+1}{{e}^{x}}$.(1)求f(x)的单调区间;
(2)设f′(x)是f(x)的导函数,证明:对于任意x>0,f′(x)<$\frac{1+{e}^{-2}}{{x}^{2}+x}$.
分析 (1)f(x)=$\frac{lnx+1}{{e}^{x}}$,x>0.f′(x)=$\frac{1-x(lnx+1)}{x{e}^{x}}$,f′(1)=0,即可得出单调区间.
(2)要证明f′(x)=$\frac{1-x(lnx+1)}{x{e}^{x}}$<$\frac{1+{e}^{-2}}{{x}^{2}+x}$,x>0,即证明1-x(lnx+1)<$\frac{(1+{e}^{-2}){e}^{x}}{x+1}$.令g(x)=1-x(lnx+1),h(x)=$\frac{(1+{e}^{-2}){e}^{x}}{x+1}$.(x>0).令导数研究其单调性,分别求出函数g(x)的最大值,函数h(x)的最小值即可证明.
解答 (1)解:f(x)=$\frac{lnx+1}{{e}^{x}}$,x>0.
f′(x)=$\frac{1-x(lnx+1)}{x{e}^{x}}$,
f′(1)=0,
当x>1时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;当0<x<1时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增.
∴函数f(x)单调递减区间为(1,+∞);单调递增区间为(0,1].
(2)证明:要证明f′(x)=$\frac{1-x(lnx+1)}{x{e}^{x}}$<$\frac{1+{e}^{-2}}{{x}^{2}+x}$,x>0,即证明1-x(lnx+1)<$\frac{(1+{e}^{-2}){e}^{x}}{x+1}$.
令g(x)=1-x(lnx+1),h(x)=$\frac{(1+{e}^{-2}){e}^{x}}{x+1}$.(x>0).
g′(x)=-lnx-2,
令g′(x)=0,解得x=e-2.当x>e-2时,g′(x)<0,此时函数g(x)单调递减;当0<x<e-2时,g′(x)>0,此时函数g(x)单调递增.
∴当x=e-2时,函数g(x)取得最大值,g(e-2)=1+e-2.
h′(x)=(1+e-2)$\frac{{e}^{x}x}{(x+1)^{2}}$>0,∴函数h(x)在x∈(0,+∞)上单调递增.
∴h(x)>h(0)=1+e-2.
∴对于任意x>0,f′(x)<$\frac{1+{e}^{-2}}{{x}^{2}+x}$.
点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
A. | $y=cos(2x-\frac{π}{3})$ | B. | $y=cos(2x-\frac{2π}{3})$ | C. | $y=cos(\frac{x}{2}-\frac{π}{3})$ | D. | $y=cos(\frac{x}{2}-\frac{π}{6})$ |
A. | f(x)=x0,g(x)=1 | B. | $f(x)=\sqrt{x^2}$,g(x)=x | ||
C. | f(x)=$\frac{1}{3}{x^2},g(x)=\frac{x^3}{3x}$ | D. | f(x)=$\root{3}{{{x^4}-{x^3}}},g(x)=x•\root{3}{x-1}$ |