题目内容

椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
3
2
，长轴端点与短轴端点间的距离为
5
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点D（0，4）的直线l与椭圆C交于两点E，F，O为坐标原点，若OE⊥OF，求直线l的斜率．
分析：（Ⅰ）由离心率为
3
2
，长轴端点与短轴端点间的距离为
5
，求出椭圆的几何量，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点D（0，4）满足题意的直线斜率存在，设l：y=kx+4，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合
OE
•
OF
=0，即x1x2+y1y2=0，从而可求直线l的斜率．
解答：解：（Ⅰ）由已知
c
a
=
3
2
，a2+b2=5，…（2分）
又a2=b2+c2，解得a2=4，b2=1，
所以椭圆C的方程为
x2
4
+y2=1．…（3分）
（Ⅱ）根据题意，过点D（0，4）满足题意的直线斜率存在，设l：y=kx+4，…（4分）
代入椭圆方程，消去y得（（1+4k2）x2+32kx+60=0，…（5分）
所以△=（32k）2-240（1+4k2）=64k2-240，
令△＞0，解得k2＞
15
4
．…（6分）
设E，F两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
则x1+x2=-
32k
1+4k2
，x1x2=
60
1+4k2
，…（7分）
因为OE⊥OF，所以
OE
•
OF
=0，即x1x2+y1y2=0，…（8分）
所以（1+k2）x1x2+4k（x1+x2）+16=0，
所以
15×(1+k2)
1+4k2
-
32k2
1+4k2
+4=0，解得k=±
19
．…（10分）
所以直线l的斜率为k=±
19
．…（12分）
点评：本题考查椭圆的步骤方程，考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
一条斜率为1的直线l与离心率e=
2
2
的椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）交于P、Q两点，直线l与y轴交于点R，且
.
OP
•
.
OQ
=-3，
.
PR
=3
.
RQ
，求直线l和椭圆C的方程．
直角坐标系xoy中，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A1，A2，上、下顶点为B2，B1，点P（
3
5
a，m）（m＞0）是椭圆C上一点，PO⊥A2B2，直线PO分别交A1B1、A2B2于点M、N．
（1）求椭圆离心率；
（2）若MN=
4
21
7
，求椭圆C的方程；
（3）在（2）的条件下，设R点是椭圆C上位于第一象限内的点，F1、F2是椭圆C的左、右焦点，RQ平分∠F1RF2且与y轴交于点Q，求点Q纵坐标的取值范围．
如图，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的离心率为
3
2
，过椭圆C上一点P（2，1）作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于点A、B，直线AB与x轴交于点M，与y轴负半轴交于点N．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）若S△PMN=
3
2
，求直线AB的方程．
如图所示，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率e=
2
2
，左焦点为F1（-1，0），右焦点为F2（1，0），短轴两个端点为A、B．与x轴不垂直的直线l与椭圆C交于不同的两点M、N，记直线AM、AN的斜率分别为k1、k2，且k1k2=
3
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证直线l与y轴相交于定点，并求出定点坐标．
（3）当弦MN的中点P落在△MF1F2内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右顶点的坐标分别为A（-2，0），B（2，0），离心率e=
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）设椭圆的两焦点分别为F1，F2，若直线l：y=k（x-1）（k≠0）与椭圆交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．

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