题目内容
【题目】已知函数,
(其中a是常数).
(1)求过点与曲线
相切的直线方程;
(2)是否存在的实数,使得只有唯一的正数a,当
时不等式
恒成立,若这样的实数k存在,试求k,a的值;若不存在.请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在,,
【解析】
(1)根据导数的几何意义先求出切线斜率,进而可求切线方程,
(2)假设存在的正实数,使得只有唯一的正数
,当
时不等式
恒成立,转化为
,分类讨论求
的最小值,令其大于等于零,利用导数求出k,a的值即可.
解:(1)设过点的直线与曲线
相切于点
,
因,则
,
所以在处切线斜率为
,
则在处切线方程为
,
将代入切线方程得
,所以
,
所以切线方程为;
(2)假设存在实数,使得只有唯一的正数
,当
时不等式
恒成立,即
恒成立,
取,可知
,
因为,
,所以
,令
,
则,
由得
.
(1)当时,
时,
,则
在
上为减函数,
时,
,则
在
上为增函数,
则,
即,令
,
则,由
,得
,
时,
,则
在区间
上为减函数,
时,
,则
在区间
上为增函数,
因此存在唯一的正数,使得
,故只能
.
所以,
所以,此时a只有唯一值
.
(2)当时,
,所以
在
上为增函数,
所以,则
,
故.
所以满足的a不唯一
综上,存在实数,a只有唯一值
,当
时,恒有原式成立.
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