题目内容

如图，已知椭圆 $数学公式$ ，梯形ABCD（AB∥CD∥y轴，|AB|＞|CD|）内接于椭圆C．
（I）设F是椭圆的右焦点，E为OF（O为坐标原点）的中点，若直线AB，CD分别经过点E，F，且梯形ABCD外接圆的圆心在直线AB上，求椭圆C的离心率；
（II）设H为梯形ABCD对角线的交点，|AB|=2m，|CD|=2n，|OH|=d，是否存在正实数λ使得 $数学公式$ 恒成立？若成立，求出λ的最小值，若不存在，请说明理由．

解：（I）设F（c，0），则E（ $\text{[math]}$ ，0），D（c， $\text{[math]}$ ），A（ $\text{[math]}$ ）
由题意，梯形ABCD外接圆的圆心在直线AB上，则|AE|=|ED|，所以 $\text{[math]}$
化简得2a²=3c²，所以椭圆的离心率 $\text{[math]}$ ；
（II）根据对称性知识，可得H在x轴上，设H（x₀，0），则|x₀|=d
设直线BD的方程为x=ty+x₀，代入椭圆方程，消去x得（a²+b²t²）y²+ $\text{[math]}$ y+ $\text{[math]}$ =0
设B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则y₁+y₂=- $\text{[math]}$
由题意，m=|y₁|，n=|y₂|，且y₁，y₂异号
∵m＞n＞0
∴m-n=|y₁+y₂|=|- $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$
∴存在正实数λ使得 $\text{[math]}$ 恒成立，且λ的最小值为1．
分析：（I）利用梯形ABCD外接圆的圆心在直线AB上，可得|AE|=|ED|，由此建立方程，求得几何量之间的关系，从而可求椭圆C的离心率；
（II）先确定H在x轴上，再利用韦达定理表示出m-n，进而利用基本不等式，即可求得结论．
点评：本题考查椭圆的离心率，考查存在性问题，考查学生的计算能力，属于中档题．