Question

16．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{2}{3}$，a_n+1=$\frac{{a}_{n}-2}{2{a}_{n}-3}$（n∈N^*）．
（1）求证：{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是等差数列，并求出{a_n}的通项a_n；
（2）证明：对于n∈N^*，a₁•a₂•a₃•…•a_n$＜\frac{1}{\sqrt{n+1}}$．

Answer 1

分析 （1）在原递推式的两边同时减1，取倒数，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到；
（2）由于$\frac{2n}{2n+1}$＜$\frac{2n+1}{2n+2}$，令S=a₁•a₂•a₃•…•a_n=$\frac{2}{3}$•$\frac{4}{5}$•$\frac{6}{7}$…$\frac{2n}{2n+1}$＜$\frac{3}{4}$•$\frac{5}{6}$•$\frac{7}{8}$…$\frac{2n+1}{2n+2}$，两边乘以S，即可得证．

解答 证明：（1）由a₁=$\frac{2}{3}$，a_n+1=$\frac{{a}_{n}-2}{2{a}_{n}-3}$（n∈N^*）．
可得a_n+1-1=$\frac{{a}_{n}-2}{2{a}_{n}-3}$-1=$\frac{1-{a}_{n}}{2{a}_{n}-3}$，
即有$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-2，
则有{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是首项为-3，公差为2的等差数列，
即有$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=-3-2（n-1），
化简可得a_n=$\frac{2n}{2n+1}$；
（2）令S=a₁•a₂•a₃•…•a_n=$\frac{2}{3}$•$\frac{4}{5}$•$\frac{6}{7}$…$\frac{2n}{2n+1}$，
由于$\frac{2n}{2n+1}$＜$\frac{2n+1}{2n+2}$，
则S＜$\frac{3}{4}$•$\frac{5}{6}$•$\frac{7}{8}$…$\frac{2n+1}{2n+2}$，
即有S²＜$\frac{2}{3}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{4}{5}$•$\frac{5}{6}$…$\frac{2n}{2n+1}$•$\frac{2n+1}{2n+2}$
=$\frac{2}{2n+2}$=$\frac{1}{n+1}$，
即为S＜$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$．
则原不等式成立．

点评 本题考查等差数列的定义和通项公式的运用，考查不等式的证明，注意运用真分数的特点：分子分母同时加一个正数，分数值增加，属于中档题．