题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆1(a>b>0)的右顶点为(2,0),离心率为
,P是直线x=4上任一点,过点M(1,0)且与PM垂直的直线交椭圆于A,B两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若P点的坐标为(4,3),求弦AB的长度;
(3)设直线PA,PM,PB的斜率分别为k1,k2,k3,问:是否存在常数λ,使得k1+k3=λk2?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)存在,λ=2,计算见解析
【解析】
(1)根据题意可知,再由离心率公式可得
,然后根据
得出
,即可得椭圆的方程;
(2)根据 点的坐标写出直线
方程,与椭圆联立解得
坐标,利用两点间距离公式即可求得弦
的长度;
(3)先假设存在,后分直线斜率存在和不存在两种情况进行求解,直线
斜率不存在时容易的
,直线
斜率存在时,设
点坐标,与椭圆联立,再分别求出
,进行化简整理即可得到
的值.
(1)由题知,
,
,
,
∴椭圆方程为.
(2),
,
∵直线与直线
垂直,
∴,
∴直线方程
,即
,
联立,得
或
,
,
,
.
(3)假设存在常数,使得
.
当直线的斜率不存在时,其方程为
,代入椭圆方程得
,
,此时
,易得
,
当直线的斜率存在时,设直线
的方程为
,
,
代入椭圆方程得(1+4k2)x2﹣8k2x+4k2﹣4=0,
,
,
直线方程为
,则
,
,
,
,
,
即,
化简得:,
将,
,
,
,代入并化简得:
.
综上:.
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