题目内容

(2012•宝鸡模拟)设偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且在x∈[0,1]时,f(x)=x,则关于x的方程f(x)=(
1
8
)x
在区间[0,3]上解的个数有(  )
分析:根据已知条件推导函数f(x)的周期,再利用函数与方程思想把问题转化,画出函数的图象,即可求解.
解答:解:∵f(x-1)=f(x+1)∴f(x)=f(x+2),
∴原函数的周期T=2,
又∵f(x)是偶函数
∴f(-x)=f(x),
又∵x∈[0,1]时,f(x)=x,函数的周期为2,
∴原函数的对称轴是x=1,且f(-x)=f(x+2)
y1=f(x) ,y2=(
1
8
)
x

方程f(x)=(
1
8
)
x
=x根的个数,即为函数y1=f(x) ,y2=(
1
8
)
x
的图象交点的个数.
由以上条件,可画出y1=f(x) ,y2=(
1
8
)
x
的图象:
又因为当x=1时,y1>y2
∴在(0,1)内有一个交点.
∴结合图象可知,在[0,3]上y1=f(x) ,y2=(
1
8
)
x
共有3个交点
∴在[0,3]上,原方程有3个根.
故选C.
点评:本题考查函数的性质,函数与方程思想,数形结合思想.转化思想,属中档题.
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