题目内容

已知a∈R,函数f(x)=x2(x-a).
(1)若函数f(x)在区间(0,
2
3
)
内是减函数,求实数a的取值范围;
(2)求函数f(x)在区间[1,2]上的最小值h(a);
(3)对(2)中的h(a),若关于a的方程h(a)=m(a+
1
2
)
有两个不相等的实数解,求实数m的取值范围.
分析:(1)函数在某区间单调递减转化成导函数在该区间≤0恒成立,分离参数转化成求函数最值.
(2)令导数为0,求得根,讨论根与区间[1,2]的关系,判断根左右两边的符号求出最小值.
(3)方程有两不等根转化成函数图象有两不同交点.
解答:精英家教网(1)解:∵f(x)=x3-ax2,∴f′(x)=3x2-2ax.
∵函数f(x)在区间(0,
2
3
)
内是减函数,
∴f′(x)=3x2-2ax≤0在(0,
2
3
)
上恒成立.
a≥
3x
2
(0,
2
3
)
上恒成立,
3x
2
3
2
×
2
3
=1
,∴a≥1.
故实数a的取值范围为[1,+∞);

(2)解:∵f′(x)=3x(x-
2
3
a)

令f′(x)=0得x=0或
2
3
a

①若a≤0,则当1≤x≤2时,f′(x)>0,
所以f(x)在区间[1,2]上是增函数,
所以h(a)=f(1)=1-a.
②若0<a<
3
2
,即0<
2
3
a<1

则当1≤x≤2时,f′(x)>0,
所以f(x)在区间[1,2]上是增函数,
所以h(a)=f(1)=1-a.
③若
3
2
≤a<3
,即1≤
2
3
a<2

则当1<x<
2
3
a
时,f′(x)<0;
2
3
a<x<2
时,f′(x)>0.
所以f(x)在区间[1,
2
3
a]
上是减函数,
在区间[
2
3
a,2]
上是增函数.
所以h(a)=f(
2
3
a)=-
4
27
a3

④若a≥3,即
2
3
a≥2
,则当1<x<2时,
f′(x)<0,所以f(x)在区间[1,2]上是减函数.
所以h(a)=f(2)=8-4a.
综上所述,函数f(x)在区间[1,2]的最小值h(a)=
1-a,a<
3
2
-
4
27
a3
3
2
≤a<3
8-4a,a≥3


(3)解:由题意h(a)=m(a+
1
2
)
有两个不相等的实数解,
即(2)中函数h(a)的图象与直线y=m(a+
1
2
)
有两个
不同的交点.
而直线y=m(a+
1
2
)
恒过定点(-
1
2
,0)

由如图知实数m的取值范围是(-4,-1).
点评:本题考查导数解决单调性问题;不等式恒成立问题;导数求最值问题;方程根问题;数形结合思想;转化化归思想.
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