题目内容
已知a∈R,函数f(x)=x2(x-a).(1)若函数f(x)在区间(0,
2 |
3 |
(2)求函数f(x)在区间[1,2]上的最小值h(a);
(3)对(2)中的h(a),若关于a的方程h(a)=m(a+
1 |
2 |
分析:(1)函数在某区间单调递减转化成导函数在该区间≤0恒成立,分离参数转化成求函数最值.
(2)令导数为0,求得根,讨论根与区间[1,2]的关系,判断根左右两边的符号求出最小值.
(3)方程有两不等根转化成函数图象有两不同交点.
(2)令导数为0,求得根,讨论根与区间[1,2]的关系,判断根左右两边的符号求出最小值.
(3)方程有两不等根转化成函数图象有两不同交点.
解答:
(1)解:∵f(x)=x3-ax2,∴f′(x)=3x2-2ax.
∵函数f(x)在区间(0,
)内是减函数,
∴f′(x)=3x2-2ax≤0在(0,
)上恒成立.
即a≥
在(0,
)上恒成立,
∵
>
×
=1,∴a≥1.
故实数a的取值范围为[1,+∞);
(2)解:∵f′(x)=3x(x-
a),
令f′(x)=0得x=0或
a.
①若a≤0,则当1≤x≤2时,f′(x)>0,
所以f(x)在区间[1,2]上是增函数,
所以h(a)=f(1)=1-a.
②若0<a<
,即0<
a<1,
则当1≤x≤2时,f′(x)>0,
所以f(x)在区间[1,2]上是增函数,
所以h(a)=f(1)=1-a.
③若
≤a<3,即1≤
a<2,
则当1<x<
a时,f′(x)<0;
当
a<x<2时,f′(x)>0.
所以f(x)在区间[1,
a]上是减函数,
在区间[
a,2]上是增函数.
所以h(a)=f(
a)=-
a3
④若a≥3,即
a≥2,则当1<x<2时,
f′(x)<0,所以f(x)在区间[1,2]上是减函数.
所以h(a)=f(2)=8-4a.
综上所述,函数f(x)在区间[1,2]的最小值h(a)=
;
(3)解:由题意h(a)=m(a+
)有两个不相等的实数解,
即(2)中函数h(a)的图象与直线y=m(a+
)有两个
不同的交点.
而直线y=m(a+
)恒过定点(-
,0),
由如图知实数m的取值范围是(-4,-1).

∵函数f(x)在区间(0,
2 |
3 |
∴f′(x)=3x2-2ax≤0在(0,
2 |
3 |
即a≥
3x |
2 |
2 |
3 |
∵
3x |
2 |
3 |
2 |
2 |
3 |
故实数a的取值范围为[1,+∞);
(2)解:∵f′(x)=3x(x-
2 |
3 |
令f′(x)=0得x=0或
2 |
3 |
①若a≤0,则当1≤x≤2时,f′(x)>0,
所以f(x)在区间[1,2]上是增函数,
所以h(a)=f(1)=1-a.
②若0<a<
3 |
2 |
2 |
3 |
则当1≤x≤2时,f′(x)>0,
所以f(x)在区间[1,2]上是增函数,
所以h(a)=f(1)=1-a.
③若
3 |
2 |
2 |
3 |
则当1<x<
2 |
3 |
当
2 |
3 |
所以f(x)在区间[1,
2 |
3 |
在区间[
2 |
3 |
所以h(a)=f(
2 |
3 |
4 |
27 |
④若a≥3,即
2 |
3 |
f′(x)<0,所以f(x)在区间[1,2]上是减函数.
所以h(a)=f(2)=8-4a.
综上所述,函数f(x)在区间[1,2]的最小值h(a)=
|
(3)解:由题意h(a)=m(a+
1 |
2 |
即(2)中函数h(a)的图象与直线y=m(a+
1 |
2 |
不同的交点.
而直线y=m(a+
1 |
2 |
1 |
2 |
由如图知实数m的取值范围是(-4,-1).
点评:本题考查导数解决单调性问题;不等式恒成立问题;导数求最值问题;方程根问题;数形结合思想;转化化归思想.

练习册系列答案
相关题目