Question

已知A={y|y=m²+1，-1≤m≤

2

}，求函数f（x）=2^x+2-3•4^x，x∈A的值域．

Answer 1

分析：由题，可先化简集合A，由于函数f（x）=2^x+2-3•4^x，x∈A是一个复合函数，可采取先求内层函数的值域，再求外层函数值域，令t=2^x，则函数可变为f（x）=4t-3t²，t∈[2，8]，求出此二次函数的值域即可得到函数f（x）=2^x+2-3•4^x，x∈A的值域．

解答：解：A={y|y=m²+1，-1≤m≤

2

}={y|1≤y≤3}，
又f（x）=2^x+2-3•4^x，x∈A
令t=2^x，可得t∈[2，8]，
则有f（x）=4t-3t²，t∈[2，8]，
∴f（x）=-3（t-

2

3

）²+

4

3

∈[-160，-4]
∴函数f（x）=2^x+2-3•4^x，x∈A的值域[-160，-4]

点评：本题考点指数函数的值域，考察了指数型复合函数值域的求法，二次函数在闭区间上的值域，解题的关键是将求复合函数值域的问题转化为两步求解，先求内层函数值域再求函数值域，求解中用到了换元法及配方法，解题要注意这些技巧的使用，本题考查了转化的思想