Question

已知

a

=（y-m，sinx），

b

=（sinx-2m，1），且

a

∥

b

．
（1）求y关于x的函数关系式y=f（x）；
（2）求函数y=f（x）的最小值g（m）；
（3）若g（m）＞-2，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用向量共线定理即可得出；
（2）令sinx=t∈[-1，1]，通过分类讨论利用二次函数的单调性即可得出；
（3）通过分类讨论，利用一元一次不等式、一元二次不等式的解法即可得出．

解答：解：（1）∵

a

=（y-m，sinx），

b

=（sinx-2m，1），且

a

∥

b

∴y-m=sinx（sinx-2m），∴y=f（x）=sinx²-2msinx+m，x∈R
（2）令sinx=t，则y=f（x）=t²-2mt+m=h（t）=（t-m）²+m-m²，t∈[-1，1]．
①当m＞1时，t=1时h（t）取得最小值，h（1）=1-m；
②当-1≤m≤1时，t=m时h（t）取得最小值，h（m）=-m²+m；
③当m＜-1时，t=-1时h（t）取得最小值，h（-1）=1+3m．
∴g（m）=

1-m，m＞1 -m2+m，-1≤m≤1 1+3m，m＜-1

．
（3）∵g（m）＞-2．
∴①当m＞1时，1-m＞-2，解得1＜m＜3；
②当-1≤m≤1时，-m²+m＞-2，解得-1＜m≤1；
③当m＜-1时，1+3m＞-2，解得m∈∅．
综上可知：g（m）＞-2的解集为（-1，3）．

点评：熟练掌握向量共线定理、换元法、分类讨论、二次函数的单调性、一元一次不等式、一元二次不等式的解法等是解题的关键．