Question

已知直线2x-y+m=0和圆x²+y²=5相交于两点A、B，
（1）当m为何值时，弦AB最长；
（2）当m为何值时，弦AB的长为2．

Answer 1

分析：（1）当弦为最长时，得到已知直线过圆心，故把圆心坐标代入直线方程即可求出m的值；
（2）根据题意画出图形，过圆心O作出弦心距OC，根据垂径定理得出C为弦AB的中点，从而由弦AB的长求出|AC|的长，再由半径r的值，利用勾股定理求出|OC|的长，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，令d等于求出的|OC|列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．

解答：解：（1）当弦AB最长时，直线过圆心，
把圆心坐标（0，0）代入直线方程得：m=0，
则m=0时，弦AB最长；

（2）根据题意画出图形，如图所示：

过O作OC⊥AB，垂足为C，则有|AC|=|BC|=

1

2

|AB|=1，
又圆的半径r=

5

，
在Rt△AOC中，根据勾股定理得：|OC|=

( 5 )2-12

=2，
则圆心到直线的距离d=

|m|

5

=2，
解得m=±2

5

．
则当m=2

5

或-2

5

时，弦AB的长为2．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有点到直线的距离公式，垂径定理以及勾股定理，利用了数形结合的思想．当直线与圆相交时，常常利用弦心距，弦长得一半以及圆的半径构造直角三角形来解决问题．