Question

已知直线l上有一列点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…，其中n∈N^*，x₁=1，x₂=2，点P_n+2分有向线段

PnPn+1

所成的比为λ（λ≠-1）．
（1）写出x_n+2与x_n+1，x_n之间的关系式；
（2）设a_n=x_n+1-x_n，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）直接利用向量的定比分点坐标公式写出x_n+2与x_n+1，x_n之间的关系式；
（2）由a_n=x_n+1-x_n，求出a₁，再推出a_n和a_n+1的关系，说明是等比数列，然后求数列{a_n}的通项公式．

解答：解：（1）因为点P_n+2分有向线段

PnPn+1

所成的比为λ，
所以

PnPn+2

=λ 

PnPn+1

，即由定比分点坐标公式得x_n+2=

xn+λxn+1

1+λ

．
（2）a₁=x₂-x₁=1，
因为a_n+1=x_n+2-x_n+1=

xn+λxn+1

1+λ

-x_n+1
=-

1

1+λ

（x_n+1-x_n）=-

1

1+λ

a_n，
∴

an+1

an

=-

1

1+λ

，即{a_n}是以a₁=1为首项，-

1

1+λ

为公比的等比数列．
∴a_n=（-

1

1+λ

）^n-1．

点评：本题考查线段的定比分点，数列递推式，考查转化思想，考查逻辑思维能力，是中档题．