Question

函数f（x）是定义在R上的奇函数，下列命题（　　）
①f（0）=0；②若f（x）在[0，+∞）上有最小值为-1，则f（x）在（-∞，0]上有最大值为1；
③若f（x）在[1，+∞）上为增函数，则f（x）在（-∞，-1]上为减函数；
④若x＞0时，f（x）=x²-2x，则x＜0时，f（x）=-x²-2x其中正确命题的个数是．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：先根据奇函数的定义判断出①对；根据奇函数的图象关于原点对称判断出②对③错；通过奇函数的定义求出当x＜0的解析式，判断出④对．

解答：解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（-x）=-f（x），所以f（0）=0，
故①对；
因为奇函数的图象关于原点对称，
所以f（x）在[0，+∞）上有最小值为-1，则f（x）在（-∞，0]上有最大值为1；
故②对；
因为奇函数的图象关于原点对称，
所以f（x）在[1，+∞）上为增函数，则f（x）在（-∞，-1]上为增函数；
故③错；
对于④，设x＜0，则-x＞0，
因为x＞0时，f（x）=x²-2x，
所以f（-x）=（-x）²-2（-x）=x²+2x，
因为f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（x）=-x²-2x，
故④对；
所以正确的命题有①②④，
故选C．

点评：本题考查奇函数的定义、考查奇函数的图象关于原点对称、考查根据函数的奇偶性求函数的解析式，属于中档题．