题目内容
探究f(x)=x+
，x∈(0，+∞)的最小值，并确定相应的x的值，类表如下：
请观察表中y值随x值变化的特点，完成下列的问题：
（1）若x1x2=1，则f（x1） f（x2）（请 用“＞”、“＜”或“=”填上）；若函数f(x)=x+
，(x＞0)在区间（0，1）上单调递减，则在区间 上单调递增．
（2）当x= 时，f(x)=x+
，(x＞0)的最小值为 ．
（3）证明函数f(x)=x+
在区间（1，+∞）上为单调增函数．
| 1 |
| x |
| x | … |
|
|
|
1 | 2 | 3 | 4 | … | ||||||||||||
| y | … |
|
|
|
2 |
|
|
|
… |
（1）若x1x2=1，则f（x1）
| 1 |
| x |
（2）当x=
| 1 |
| x |
（3）证明函数f(x)=x+
| 1 |
| x |
分析：（1）由f（x）以及x1x2=1，计算f（x1）与f（x2），得出结论；观察表中y值随x值变化的特点，得出结论；
（2）由表中y值随x值变化的特点，得出x=1时，f（x）的最小值为2；
（3）用单调性定义证明函数f（x）在区间（1，+∞）上的增减性．
（2）由表中y值随x值变化的特点，得出x=1时，f（x）的最小值为2；
（3）用单调性定义证明函数f（x）在区间（1，+∞）上的增减性．
解答：解：（1）∵f（x）=x+
，当x1x2=1时，x1=
，∴f（x1）=x1+
=
+x2=f（x2），∴应填：=；
观察表中y值随x值变化的特点，当0＜x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，∴应填：（1，+∞）；
（2）由表中y值随x值变化的特点，知当x=1时，f(x)=x+
，(x＞0)的最小值为2；∴应填：1，2；
（3）设x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=（x1+
）-（x2+
）=（x1-x2）（1-
）；
∵x1，x2∈（1，+∞）且x1＜x2，
∴x1-x2＜0，1-
＞0；
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）；
∴函数f（x）在区间（1，+∞）上是增函数．
| 1 |
| x |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
观察表中y值随x值变化的特点，当0＜x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，∴应填：（1，+∞）；
（2）由表中y值随x值变化的特点，知当x=1时，f(x)=x+
| 1 |
| x |
（3）设x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=（x1+
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x1x2 |
∵x1，x2∈（1，+∞）且x1＜x2，
∴x1-x2＜0，1-
| 1 |
| x1x2 |
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）；
∴函数f（x）在区间（1，+∞）上是增函数．
点评：本题考查了根据函数值表判定函数的单调性与最值问题，也考查了利用函数单调性定义证明单调性问题，是基础题．
练习册系列答案
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探究函数f(x)=x+
，x∈(0，+∞)的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：
请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
函数f(x)=x+
，x∈(0，+∞)在区间（0，2）上递减；
（1）函数f(x)=x+
，x∈(0，+∞)在区间 上递增．当x= 时，y最小= ．
（2）证明：函数f(x)=x+
(x＞0)在区间（0，2）递减．
（3）思考：函数f(x)=x+
(x＜0)有最值吗？如有，是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）．
| 4 |
| x |
| x | … | 0.5 | 1 | 1.5 | 1.7 | 1.9 | 2 | 2.1 | 2.2 | 2.3 | 3 | 4 | 5 | 7 | … |
| y | … | 8.5 | 5 | 4.17 | 4.05 | 4.005 | 4 | 4.005 | 4.02 | 4.04 | 4.3 | 5 | 5.8 | 7.57 | … |
函数f(x)=x+
| 4 |
| x |
（1）函数f(x)=x+
| 4 |
| x |
（2）证明：函数f(x)=x+
| 4 |
| x |
（3）思考：函数f(x)=x+
| 4 |
| x |