题目内容

如图，在四边形ABCD中，AD=8，CD=6，AB=13，∠ADC=90°，且 $数学公式$ ．
（1）求sin∠BAC的值；
（2）求△ABD的面积．

解：（1）在Rt△ADC中， $\text{[math]}$
又∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∵0＜∠BAC＜π，∴ $\text{[math]}$ …（6分）
（2）由（1）可求得 $\text{[math]}$ （3）
所以， $\text{[math]}$ …（12分）
分析：（1）先利用勾股定理求出边AC的长，利用向量的数量积公式求出cos∠BAC，利用三角函数的平方关系求出sin∠BAC的值．
（2）利用两角和的正弦公式求出sin∠BAD，利用三角形的面积公式求出△ABD的面积．
点评：本题考查利用向量的数量积公式求向量的夹角余弦；考查了三角形的面积公式．

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如图，在四边形ABCD中，△ABC为边长等于

的正三角形，∠BDC=45°，
∠CBD=75°，求线段AC的长．

如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC=60°，AC=7，AD=6，S_△ADC=

，求AB的长．

如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC=60°，AC=6，AD=5，S_△ADC=

，求AB的长．

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB_l∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB₁于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；
（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值；
（3）以DH所在直线为对称轴，线段AC经轴对称变换后的图形为A′C′．
①当t＞

时，连接C′C，设四边形ACC′A′的面积为S，求S关于t的函数关系式；
②当线段A′C′与射线BB，有公共点时，求t的取值范围（写出答案即可）．

（2012•青岛二模）如图，在多面体ABC-A₁B₁C₁中，四边形ABB₁A₁是正方形，AC=AB=1，A₁C=A₁B，B₁C₁∥BC，B1C1=

BC．
（Ⅰ）求证：面A₁AC⊥面ABC；
（Ⅱ）求证：AB₁∥面A₁C₁C．