Question

下列4个命题：
①函数y=sinx在第一象限是增函数；
②函数y=|cosx+

1

2

|的最小正周期是π
③函数y=f（x），若f（1+2x）=f（1-2x），则f（x）的图象自身关于直线x=1对称；
④对于任意实数x有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时f′（x）＞g′（x）
其中正确命题的序号是

③④

．（填上所有正确命题的序号）．

Answer 1

分析：利用正弦函数的单调性判断①的正误；通过函数的周期判断②的正误；利用函数的对称性判断③的正误；根据函数的单调性与其导函数的正负的关系，同时注意到奇（偶）函数在对称的区间上单调性相同（反），判断④的正误．

解答：解：对于①“函数y=sinx在第一象限是增函数”是假命题，比方说A=30°、B=390°，它们的终边相同，虽然A＜B，但有sinA=sinB，说明函数f（x）=sinx在第一象限不是增函数，①不正确
对于②，函数y=|cosx+

1

2

|的最小正周期是π，因为y=cosx+

1

2

的周期是2π，所以y=|cosx+

1

2

|的周期也是2π，可以通过图象看出，所以②不正确．
对于③，函数y=f（x），若f（1+2x）=f（1-2x），即f（1+x）=f（1-x），则f（x）的图象自身关于直线x=1对称；正确．
对于④，根据题意，f（x）是奇函数，g（x）是偶函数；又由奇函数在定义域内单调性相同，偶函数单调性相反，所以x＜0时，f′（x）＞0，g′（x）＜0，所以f′（x）＞g′（x），故正确；
故答案为：③④

点评：本题考查三角函数的单调性，周期，函数的对称性与奇偶性，利用导数判断函数的单调性，考查基本知识的应用．