题目内容
有下列4个命题:
①函数y=f(x)在一点的导数值为0是函数y=f(x)在这点取极值的充要条件;
②若椭圆x2+my2=1的离心率为
,则它的长半轴长为1;
③对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)f′(x)≥0,则必有f(0)+f(2)≥2f(1);
④经过点(1,1)的直线,必与
+
=1有2个不同的交点.
其中真命题的为
①函数y=f(x)在一点的导数值为0是函数y=f(x)在这点取极值的充要条件;
②若椭圆x2+my2=1的离心率为
| ||
2 |
③对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)f′(x)≥0,则必有f(0)+f(2)≥2f(1);
④经过点(1,1)的直线,必与
x2 |
4 |
y2 |
2 |
其中真命题的为
③④
③④
将你认为是真命题的序号都填上)分析:令y=f(x)=x3,由f′(0)=0可判断①的正误;
当焦点在y时,可判断②错误;
对x分x>1与x<1讨论,利用导数判断函数的单调性,从而可判断③的正误;
由于点(1,1)在已知椭圆内,从而可判断④的正误.
当焦点在y时,可判断②错误;
对x分x>1与x<1讨论,利用导数判断函数的单调性,从而可判断③的正误;
由于点(1,1)在已知椭圆内,从而可判断④的正误.
解答:解:令y=f(x)=x3,f′(x)=3x2≥0,
∴f(x)在R上单调递增,无极值,
但f′(0)=0,
∴①错误;
∵椭圆x2+my2=1的离心率为
,
∴当焦点在x轴时,长半轴a=1,短半轴b=
;
当焦点在y轴时,短半轴b=1,长半轴a=2,
故②错误;
对于③,∵(x-1)f′(x)≥0,
∴当x>1时,f′(x)≥0,即f(x)在(1,+∞)上单调递增,
∴f(2)>f(1);
当x<1时,f′(x)≤0,
同理可得f(0)>f(1);
∴f(0)+f(2)≥2f(1),即③正确;
对于④,∵
+
<1,
∴点(1,1)在已知椭圆内,
∴经过点(1,1)的直线,必与椭圆
+
=1有2个不同的交点,故④正确;
综上所述,真命题为③④.
故答案为:③④.
∴f(x)在R上单调递增,无极值,
但f′(0)=0,
∴①错误;
∵椭圆x2+my2=1的离心率为
| ||
2 |
∴当焦点在x轴时,长半轴a=1,短半轴b=
1 |
2 |
当焦点在y轴时,短半轴b=1,长半轴a=2,
故②错误;
对于③,∵(x-1)f′(x)≥0,
∴当x>1时,f′(x)≥0,即f(x)在(1,+∞)上单调递增,
∴f(2)>f(1);
当x<1时,f′(x)≤0,
同理可得f(0)>f(1);
∴f(0)+f(2)≥2f(1),即③正确;
对于④,∵
12 |
4 |
12 |
2 |
∴点(1,1)在已知椭圆内,
∴经过点(1,1)的直线,必与椭圆
x2 |
4 |
y2 |
2 |
综上所述,真命题为③④.
故答案为:③④.
点评:本题考查命题的真假判断与应用,考查椭圆的性质及导数、函数的单调性的综合应用,考查分析推论与运算能力,属于中档题.
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