题目内容

给出下列4个命题:
①函数f(x)=x|x|+ax+m是奇函数的充要条件是m=0;
②若函数f(x)=lg(ax+1)的定义域是{x|x<1},则a<-1;
③函数f(x)=e-xx2的极小值为f(0),极大值为f(2);
④圆:x2+y2-10x+4y-5=0上任意点M关于直线ax-y-5a=2的对称点M'也在该圆上.
所有正确命题的序号是
 
分析:分别讨论各个选项的正确与错误:利用函数奇偶的定义,得出①是真命题;根据对数函数的性质及不等式的等价变形法则,得出②是假命题;根据利用导数求函数的极值的理论,得出③是真命题;通过计算圆的圆心坐标与直线方程经过定点,发现直线经过圆的圆心,得到④为真命题.
解答:解:对于①,若函数f(x)=x|x|+ax+m是奇函数,则f(0)=m=0,说明充分性成立
反过来,若m=0,则f(x)=x|x|+ax,满足f(-x)=-x|x|-ax=-f(x),
函数是奇函数,故①正确;
对于②,函数f(x)=lg(ax+1)的定义域是{x|ax+1>0},
由题意,若函数定义域是{x|x<1},说明a=-1,而不是a<-1,故②错;
对于③,函数f(x)=e-xx2=
x 2
e x
,求导数得:f/(x)=
e x(2x-x2)
e2x
=
x(2-x)
e x

当x<0或x>2时,f′(x)0,函数为减函数,
因此,函数的极小值为f(0),极大值为f(2),故③正确;
对于④,直线ax-y-5a=2当x=5时y=-2成立,说明直线经过定点A(5,-2),
而圆:x2+y2-10x+4y-5=0的圆心坐标为A(5,-2),直线经过圆的圆心,
可得圆x2+y2-10x+4y-5=0关于直线ax-y-5a=2对称,故④正确.
故答案为:①③④
点评:本题考查了函数在某点取得极值的条件、命题的真假判断与应用和直线与圆位置关系等知识点,属于中档题.本题综合的知识较多,是一道易错题.
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