题目内容
已知函数f（x）=x3+bx2+xc+d（b、c、d为常数），当k∈（-∞，0）∪（4，+∞）时，f（x）-k=0只有一个实根，当k∈（0，4）时，f（x）-k=0有3个相异实根，现给出下列4个命题；
①函数f（x）有2个极值点；
②函数f（x）有3个极值点；
③f（x）=4和f′（x）=0有一个相同的实根；
④f（x）=0和f′（x）=0有一个相同的实根；
其中正确命题的个数是（ ）
①函数f（x）有2个极值点；
②函数f（x）有3个极值点；
③f（x）=4和f′（x）=0有一个相同的实根；
④f（x）=0和f′（x）=0有一个相同的实根；
其中正确命题的个数是（ ）
分析：由已知中f（x）=x3+bx2+cx+d，当k＜0或k＞4时，f（x）-k=0只有一个实根；当0＜k＜4时，f（x）-k=0有三个相异实根，故函数即为极大值，又有极小值，且极大值为4，极小值为0，逐一分析四个结论的正误，即可得到答案．
解答：解：∵函数f（x）=x3+bx2+xc+d，∴f′（x）=3x2+2bx+c
由题意，当k∈（-∞，0）∪（4，+∞）时，f（x）-k=0只有一个实根，当k∈（0，4）时，f（x）-k=0有3个相异实根，故函数即为极大值，又有极小值，且极大值为4，极小值为0，故①正确，②错误；
f（x）-4=0与f'（x）=0有一个相同的实根，即极大值点，故③正确；
f（x）=0与f'（x）=0有一个相同的实根，即极小值点，故④正确，
故正确命题的个数是3个
故选C．
由题意，当k∈（-∞，0）∪（4，+∞）时，f（x）-k=0只有一个实根，当k∈（0，4）时，f（x）-k=0有3个相异实根，故函数即为极大值，又有极小值，且极大值为4，极小值为0，故①正确，②错误；
f（x）-4=0与f'（x）=0有一个相同的实根，即极大值点，故③正确；
f（x）=0与f'（x）=0有一个相同的实根，即极小值点，故④正确，
故正确命题的个数是3个
故选C．
点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据已知条件，判断出函数f（x）=x3+bx2+cx+d的图象和性质是解答本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
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