题目内容
已知椭圆C的离心率e=
,长轴的左右端点分别为A1(-2,0),A2(2,0).
(I)求椭圆C的方程;
(II)设直线x=my+1与椭圆C交于P,Q两点,直线A1P与A2Q交于点S,试问:当m变化时,点S是否恒在一条定直线上?若是,请写出这条直线方程,并证明你的结论;若不是,请说明理由.
解:(I)设椭圆C的方程为
,
∵
,∴
,b2=1,
∴椭圆C的方程为
.
(II)取m=0,得P(1,
),Q(1,-
),
直线A1P的方程是
,
直线A1P的方程是
,直线A2Q的方程为是
交点为
.
若
,由对称性可知
,
若点S在同一条直线上,由直线只能为l:x=4.
以下证明对于任意的m,直线A1P与A2Q的交点S均在直线l:x=4上,
事实上,由
,
得(my+1)2+4y2=4,即(m2+4)y2+2my-3=0,
记P(x1,y1),Q(x2,y2),
则
,
记A1P与l交于点S0(4,y0),
由
,得
,
设A2Q与l交于点S‘0(4,y′0),
由
,得
,
∵
=
=
=
,
∴y0=y′0,即S0与S‘0重合,
这说明,当m变化时,点S恒在定直线l:x=4上.
分析:(I)设椭圆C的方程为
,由
,知
,b2=1,由此能求出椭圆C的方程.
(II)取m=0,得P(1,
),Q(1,-
),直线A1P的方程是
,直线A1P的方程是
,直线A2Q的方程为是
交点为
.若
,由对称性可知
,若点S在同一条直线上,由直线只能为l:x=4.
点评:本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合运用,解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价变换.注意对称性的合理运用.

∵


∴椭圆C的方程为

(II)取m=0,得P(1,


直线A1P的方程是

直线A1P的方程是



若


若点S在同一条直线上,由直线只能为l:x=4.
以下证明对于任意的m,直线A1P与A2Q的交点S均在直线l:x=4上,
事实上,由

得(my+1)2+4y2=4,即(m2+4)y2+2my-3=0,
记P(x1,y1),Q(x2,y2),
则

记A1P与l交于点S0(4,y0),
由


设A2Q与l交于点S‘0(4,y′0),
由


∵

=

=

=

∴y0=y′0,即S0与S‘0重合,
这说明,当m变化时,点S恒在定直线l:x=4上.
分析:(I)设椭圆C的方程为



(II)取m=0,得P(1,








点评:本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合运用,解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价变换.注意对称性的合理运用.

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