题目内容

已知椭圆C的离心率e= $数学公式$ ，长轴的左右端点分别为A₁（-2，0），A₂（2，0）．
（I）求椭圆C的方程；
（II）设直线x=my+1与椭圆C交于P，Q两点，直线A₁P与A₂Q交于点S，试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

解：（I）设椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，b²=1，
∴椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ ．
（II）取m=0，得P（1， $\text{[math]}$ ），Q（1，- $\text{[math]}$ ），
直线A₁P的方程是 $\text{[math]}$ ，
直线A₁P的方程是 $\text{[math]}$ ，直线A₂Q的方程为是 $\text{[math]}$ 交点为 $\text{[math]}$ ．
若 $\text{[math]}$ ，由对称性可知 $\text{[math]}$ ，
若点S在同一条直线上，由直线只能为l：x=4．
以下证明对于任意的m，直线A₁P与A₂Q的交点S均在直线l：x=4上，
事实上，由 $\text{[math]}$ ，
得（my+1）²+4y²=4，即（m²+4）y²+2my-3=0，
记P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则 $\text{[math]}$ ，
记A₁P与l交于点S₀（4，y₀），
由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，
设A₂Q与l交于点S‘₀（4，y′₀），
由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，
∴y₀=y′₀，即S₀与S‘₀重合，
这说明，当m变化时，点S恒在定直线l：x=4上．
分析：（I）设椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ ，b²=1，由此能求出椭圆C的方程．
（II）取m=0，得P（1， $\text{[math]}$ ），Q（1，- $\text{[math]}$ ），直线A₁P的方程是 $\text{[math]}$ ，直线A₁P的方程是 $\text{[math]}$ ，直线A₂Q的方程为是 $\text{[math]}$ 交点为 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，由对称性可知 $\text{[math]}$ ，若点S在同一条直线上，由直线只能为l：x=4．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价变换．注意对称性的合理运用．