题目内容

6 |
(Ⅰ)证明:平面ABC丄平面PBD;
(Ⅱ)求四棱锥P-ABCD的体积;
(Ⅲ)求二面角P-AD-B的正切值.
分析:(Ⅰ)由已知中PH是四棱锥的高,AC⊥BD,结合线面直线的判定定理我们可得AC⊥平面PBD,再由面面垂直的判定定理,我们可得平面ABC丄平面PBD;
(Ⅱ)由已知中ABCD的为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,AB=
,我们求出底面ABCD的面积,及棱锥的高PH的值,代入棱锥体积公式即可得到四棱锥P-ABCD的体积;
(Ⅲ)过H作HE⊥AD于E,连接PE,则∠PEH即为二面角P-AD-B的平面角,解三角形PEH,即可求出二面角P-AD-B的正切值.
(Ⅱ)由已知中ABCD的为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,AB=
6 |
(Ⅲ)过H作HE⊥AD于E,连接PE,则∠PEH即为二面角P-AD-B的平面角,解三角形PEH,即可求出二面角P-AD-B的正切值.
解答:
解:(Ⅰ)证明:如图所示:
∵PH是四棱锥的高
∴AC⊥PH,
又∵AC⊥BD,PH∩BD=H
∴AC⊥平面PBD
又∵AC?平面PAC
∴平面ABC丄平面PBD;
(Ⅱ)解:∵ABCD的为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,AB=
∴HA=HB=
又∵∠APB=∠ADB=60°.
∴PA=PB=
,HD=HC=1
∴PH=
=
∴SABCD=
•AC•BD=2+
∴VP-ABCD=
×(2+
)×
=
(Ⅲ)解:过H作HE⊥AD于E,连接PE
∵PH是四棱锥的高
∴PE⊥AD
∴∠PEH即为二面角P-AD-B的平面角
在直角三角形AHD中,AH=
,DH=1
∴AD=2
∴HE=
∴tan∠PEH=
=2
故二面角P-AD-B的正切值为2

∵PH是四棱锥的高
∴AC⊥PH,
又∵AC⊥BD,PH∩BD=H
∴AC⊥平面PBD
又∵AC?平面PAC
∴平面ABC丄平面PBD;
(Ⅱ)解:∵ABCD的为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,AB=
6 |
∴HA=HB=
3 |
又∵∠APB=∠ADB=60°.
∴PA=PB=
6 |
∴PH=
PA2-HA2 |
3 |
∴SABCD=
1 |
2 |
3 |
∴VP-ABCD=
1 |
3 |
3 |
3 |
3+2
| ||
3 |
(Ⅲ)解:过H作HE⊥AD于E,连接PE
∵PH是四棱锥的高
∴PE⊥AD
∴∠PEH即为二面角P-AD-B的平面角
在直角三角形AHD中,AH=
3 |
∴AD=2
∴HE=
| ||
2 |
∴tan∠PEH=
PH |
EH |
故二面角P-AD-B的正切值为2
点评:本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定,棱锥的体积,二面角的平面角及求法,其中熟练掌握面面垂直的判定定理是(I)的关键,求也底面面积及高是求(II)的关键,而找到二面角的平面角是解(III)的关键.

练习册系列答案
相关题目