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精英家教网如图,四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形,AB∥CD,AC丄BD,垂足为H,PH是四棱锥的高.已知AB=
6
,∠APB=∠ADB=60°.
(Ⅰ)证明:平面ABC丄平面PBD;
(Ⅱ)求四棱锥P-ABCD的体积;
(Ⅲ)求二面角P-AD-B的正切值.
分析:(Ⅰ)由已知中PH是四棱锥的高,AC⊥BD,结合线面直线的判定定理我们可得AC⊥平面PBD,再由面面垂直的判定定理,我们可得平面ABC丄平面PBD;
(Ⅱ)由已知中ABCD的为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,AB=
6
,我们求出底面ABCD的面积,及棱锥的高PH的值,代入棱锥体积公式即可得到四棱锥P-ABCD的体积;
(Ⅲ)过H作HE⊥AD于E,连接PE,则∠PEH即为二面角P-AD-B的平面角,解三角形PEH,即可求出二面角P-AD-B的正切值.
解答:精英家教网解:(Ⅰ)证明:如图所示:
∵PH是四棱锥的高
∴AC⊥PH,
又∵AC⊥BD,PH∩BD=H
∴AC⊥平面PBD
又∵AC?平面PAC
∴平面ABC丄平面PBD;
(Ⅱ)解:∵ABCD的为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,AB=
6

∴HA=HB=
3

又∵∠APB=∠ADB=60°.
∴PA=PB=
6
,HD=HC=1
∴PH=
PA2-HA2
=
3

SABCD=
1
2
•AC•BD
=2+
3

∴VP-ABCD=
1
3
×(2+
3
3
=
3+2
3
3

(Ⅲ)解:过H作HE⊥AD于E,连接PE
∵PH是四棱锥的高
∴PE⊥AD
∴∠PEH即为二面角P-AD-B的平面角
在直角三角形AHD中,AH=
3
,DH=1
∴AD=2
∴HE=
3
2

∴tan∠PEH=
PH
EH
=2
故二面角P-AD-B的正切值为2
点评:本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定,棱锥的体积,二面角的平面角及求法,其中熟练掌握面面垂直的判定定理是(I)的关键,求也底面面积及高是求(II)的关键,而找到二面角的平面角是解(III)的关键.
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