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【题目】【2017福建三明5月质检】已知椭圆的右焦点,椭圆的左,右顶点分别为.过点的直线与椭圆交于两点,且的面积是的面积的3倍.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)若轴垂直,是椭圆上位于直线两侧的动点,且满足,试问直线的斜率是否为定值,请说明理由.

【答案】(I);(II)为定值.

【解析】

解法一:(Ⅰ)因为的面积是的面积的3倍,

所以,即,所以,所以

则椭圆的方程为

(Ⅱ)当,则

设直线的斜率为,则直线的斜率为

不妨设点轴上方,,设

的直线方程为,代入中整理得

同理

所以

因此直线的斜率是定值

解法二:(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)依题意知直线的斜率存在,所以设方程:代入中整理得

,设

所以

,则,不妨设点轴上方,

所以,整理得

所以

整理得

,所以

时,直线过定点,不合题意;

时,,符合题意,

所以直线的斜率是定值

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