题目内容
【题目】【2017福建三明5月质检】已知椭圆的右焦点
,椭圆
的左,右顶点分别为
.过点
的直线
与椭圆交于
两点,且
的面积是
的面积的3倍.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若与
轴垂直,
是椭圆
上位于直线
两侧的动点,且满足
,试问直线
的斜率是否为定值,请说明理由.
【答案】(I);(II)为定值
.
【解析】
解法一:(Ⅰ)因为的面积是
的面积的3倍,
所以,即
,所以
,所以
,
则椭圆的方程为
.
(Ⅱ)当,则
,
设直线的斜率为
,则直线
的斜率为
,
不妨设点在
轴上方,
,设
,
则的直线方程为
,代入
中整理得
,
;
同理.
所以,
,
则,
因此直线的斜率是定值
.
解法二:(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)依题意知直线的斜率存在,所以设
方程:
代入
中整理得
,设
,
所以,
,
当,则
,不妨设点
在
轴上方,
,
所以,整理得
,
所以,
整理得,
即,所以
或
.
当时,直线
过定点
,不合题意;
当时,
,符合题意,
所以直线的斜率是定值
.
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